แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x − 1)⁵ หา f′(0)

f(x) = (4x − 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − x − 2 ที่ x = 1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − x − 2x = 1

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 1200 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €40 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 1200 m²€40/m€12/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €55 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 6100 + 20q + 0.01q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €55C = 6100 + 20q + 0.01q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π x·cos x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = 3x

y = x²y = 3x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 54.6

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·2 = 4

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁴ = 54.6

คำตอบ

L = 54.6

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 4

ใช้ครั้งแรก

4·sin 4x/(4x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

16·cos 4x/4

แทนค่า x = 0

L = 16/4 = 4

คำตอบ

L = 4

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0) = 20

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(4x − 1)⁴·4

แทนค่า

f′(0) = 5·(−1)⁴·4 = 20

คำตอบ

f′(0) = 20

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −2.5

จุดและความชัน

f(1) = −2.5

f′(x) = x − 1 → f′(1) = 0

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2.5 − 0·1 = −2.5

คำตอบ

b = −2.5

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 2448 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 52x + 28800/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 57600/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(28800/52) = 23.53 m

y = 1200/23.53 = 50.99 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 52·23.53 + 28800/23.53 = €2448

คำตอบ

C = €2448

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 1750 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 55q − (6100 + 20q + 0.01q²) = −0.01q² + 35q − 6100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.02 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

35 − 0.02q = 0 → q = 1750

กำไรสูงสุด

P = 35·1750 − 0.01·1750² − 6100 = €24525

คำตอบ

q = 1750

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = −2

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

คำตอบ

I = −2

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 4.5

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

x² = 3x → x = 0, x = 3

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

คำตอบ

A = 4.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1