แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(2x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1)

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 15x² + 63x − 5 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 15x² + 63x − 5

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 400 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 400 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 130 − 1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 100 + 90q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 130 − 1qC = 100 + 90q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₁⁴ x·ln x dx

∫₁⁴ x ln x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 403.4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·2 = 6

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁶ = 403.4

คำตอบ

L = 403.4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 4

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]

แทนค่า x = 0

L = 4/1 = 4

คำตอบ

L = 4

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 0.077

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

แทนค่า

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

คำตอบ

f′(1) = 0.077

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 7

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 3 หรือ x = 7

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 30: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 7

คำตอบ

x = 7

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 300.5 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm

A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

คำตอบ

A = 300.5 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 300 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (130 − 1q)·q − (100 + 90q) = −q² + 40q − 100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 40/2 = 20

ราคาและกำไร

p = 130 − 1·20 = €110

P = 40·20 − 1·20² − 100 = €300

คำตอบ

P = €300

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 7.34

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

ปฏิยานุพันธ์

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

ลิมิต

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

คำตอบ

I = 7.34

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1