แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(x² + 4) หา f′(3)

f(x) = ln(x² + 4)x = 3

f′(3) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x² − 2x + 2 ที่ x = 1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x² − 2x + 2x = 1

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 750 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 750 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 2350 ใบต่อรอบ ใบละ €25 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 50 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 50 ใบ) จงหารายได้สูงสุด R ต่อรอบ

2350 × €2550 / €1

R = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 3x กับพาราโบลา y = 3x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 3xy = 3x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 20.09

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·3 = 3

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e³ = 20.09

คำตอบ

L = 20.09

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.125

ใช้ครั้งแรก

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

0.25·e^0.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

คำตอบ

L = 0.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(3) = 0.4615

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 2x/(x² + 4)

แทนค่า

f′(3) = 6/13 = 0.4615

คำตอบ

f′(3) = 0.4615

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 3

จุดและความชัน

f(1) = −1

f′(x) = −2x − 2 → f′(1) = −4

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−4)·1 = 3

คำตอบ

b = 3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 457 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm

A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²

คำตอบ

A = 457 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: R = 64800 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 3600 − 50p

R(p) = 3600p − 50p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −100 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 3600/100 = €36

รายได้สูงสุด

n = 3600 − 50·36 = 1800

R = 36·1800 = €64800

คำตอบ

R = €64800

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.5708

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

คำตอบ

I = 0.5708

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 3.77

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

3x = 3x² → x = 0, x = 1

วิธีวงแหวน

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

คำตอบ

V = 3.77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1