แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(4x² + 4x) − 2x)

f(x) = √(4x² + 4x) − 2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^2x หา f′(1.5)

f(x) = x³·e^2xx = 1.5

f′(1.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 7.5x² + 12x หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 7.5x² + 12x

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 500 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาความสูง h

V = 500 cm³

h = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 310 ใบต่อรอบ ใบละ €12 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 10 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 10 ใบ) จงหารายได้สูงสุด R ต่อรอบ

310 × €1210 / €1

R = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 2x

y = 2x²y = 2x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 1

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 4x/(√(4x² + 4x) + 2x)

หารด้วย x

f(x) = 4/(√(4 + 4/x) + 2)

ให้ x → ∞

L = 4/(2 + 2) = 1

คำตอบ

L = 1

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.6

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

แทนค่า x = 0

L = 3/5 = 0.6

คำตอบ

L = 0.6

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1.5) = 271.2

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

แทนค่า

f′(1.5) = 20.09·(6.75 + 6.75) = 271.2

คำตอบ

f′(1.5) = 271.2

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −4

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −4 หรือ x = −1

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −4

คำตอบ

x = −4

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: h = 5 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 2000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 1000 → x = 10 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

คำตอบ

h = 5 cm

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: R = 4623 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 430 − 10p

R(p) = 430p − 10p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −20 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 430/20 = €21.5

รายได้สูงสุด

n = 430 − 10·21.5 = 215

R = 21.5·215 = €4623

คำตอบ

R = €4623

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 41.33

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

คำตอบ

I = 41.33

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.3333

จุดตัด

2x² = 2x → x = 0, x = 1

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [x² − 0.6667x³]₀¹ = 0.3333

คำตอบ

A = 0.3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1