แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (2x² + 7)/(3x² + 4x + 8)

f(x) = (2x² + 7)/(3x² + 4x + 8)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x²

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (3x + 1)⁵ หา f′(0)

f(x) = (3x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 2x² + 4x ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 2x² + 4xx = −1

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 13500 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาพื้นที่ผิวต่ำสุด S

V = 13500 cm³

S = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €65 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 5000 + 24q + 0.05q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €65C = 5000 + 24q + 0.05q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = 2x

y = x²y = 2x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.6667

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(2 + 7/x²)/(3 + 4/x + 8/x²)

ให้ x → ∞

L = 2/3 = 0.6667

คำตอบ

L = 0.6667

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ใช้ครั้งแรก

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

1·e^x/2

แทนค่า x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0) = 15

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

แทนค่า

f′(0) = 5·1⁴·3 = 15

คำตอบ

f′(0) = 15

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −2

จุดและความชัน

f(−1) = −2

f′(x) = 4x + 4 → f′(−1) = 0

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 0·(−1) = −2

คำตอบ

b = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: S = 2700 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 54000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 27000 → x = 30 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

คำตอบ

S = 2700 cm²

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 3405 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 65q − (5000 + 24q + 0.05q²) = −0.05q² + 41q − 5000

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

41 − 0.1q = 0 → q = 410

กำไรสูงสุด

P = 41·410 − 0.05·410² − 5000 = €3405

คำตอบ

P = €3405

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.5

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

คำตอบ

I = 1.5

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

จุดตัด

x² = 2x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1