แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x)

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x²·e^−0.5x หา f′(0.5)

f(x) = x²·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = x² − 5x + 5 ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x² − 5x + 5x = −2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 1000 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาความสูง h ของกระป๋องที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 1000 cm³

h = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 200 − 0.2q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 3400 + 105q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 200 − 0.2qC = 3400 + 105q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁴ 5/x dx

f(x) = 5/x[2, 4]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = 4x

y = x²y = 4x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

หารด้วย x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

คำตอบ

L = 4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 0.6815

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(2x + (−0.5)·x²)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.7788·(1 + (−0.125)) = 0.6815

คำตอบ

f′(0.5) = 0.6815

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 1

จุดและความชัน

f(−2) = 19

f′(x) = 2x − 5 → f′(−2) = −9

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 19 − (−9)·(−2) = 1

คำตอบ

b = 1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: h = 10.84 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

คำตอบ

h = 10.84 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 7881 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (200 − 0.2q)·q − (3400 + 105q) = −0.2q² + 95q − 3400

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.4 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 95/0.4 = 237.5

ราคาและกำไร

p = 200 − 0.2·237.5 = €152.5

P = 95·237.5 − 0.2·237.5² − 3400 = €7881

คำตอบ

P = €7881

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.466

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 5·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3.466

คำตอบ

I = 3.466

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

จุดตัด

x² = 4x → x = 0, x = 4

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

คำตอบ

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1