แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 1/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^0.5x หา f′(2)

f(x) = x³·e^0.5xx = 2

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 10.5x² + 36x − 1 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 10.5x² + 36x − 1

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 750 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหารัศมี r ที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 750 cm³

r = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 90 − 0.2q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 500 + 45q ยูโร จงหาราคา p ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 90 − 0.2qC = 500 + 45q

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = 3x จาก x = 0 ถึง x = 4 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 20.09

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·1 = 3

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e³ = 20.09

คำตอบ

L = 20.09

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.125

ใช้ครั้งแรก

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

0.25·e^−0.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

คำตอบ

L = 0.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 43.49

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

แทนค่า

f′(2) = 2.718·(12 + 4) = 43.49

คำตอบ

f′(2) = 43.49

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −4

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 21x + 36 = 3·(x² + 7x + 12)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −4 หรือ x = −3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 21: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3

x = −4

คำตอบ

x = −4

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: r = 4.924 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm

A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²

คำตอบ

r = 4.924 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 67.5 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (90 − 0.2q)·q − (500 + 45q) = −0.2q² + 45q − 500

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.4 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 45/0.4 = 112.5

ราคาและกำไร

p = 90 − 0.2·112.5 = €67.5

P = 45·112.5 − 0.2·112.5² − 500 = €2031

คำตอบ

p = €67.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 603.2

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀⁴ 9x² dx

อินทิเกรต

V = π·9·4³/3 = 603.2

คำตอบ

V = 603.2

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 12 และสูง 4 มี (1/3)πr²h = 603.2

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1