แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (−3x² + 2x + 4)/(3x² + 2x + 2)

f(x) = (−3x² + 2x + 4)/(3x² + 2x + 2)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(2x² + 4) หา f′(2)

f(x) = ln(2x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x² + 4x − 6 ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x² + 4x − 6x = 3

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 62500 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาพื้นที่ผิวต่ำสุด S

V = 62500 cm³

S = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €20 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 100 + 6q + 0.2q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €20C = 100 + 6q + 0.2q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀² x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀² x·sin x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 5x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 5xy = 2x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −1

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(−3 + 2/x + 4/x²)/(3 + 2/x + 2/x²)

ให้ x → ∞

L = −3/3 = −1

คำตอบ

L = −1

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.125

ใช้ครั้งแรก

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

2.25·e^1.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

คำตอบ

L = 1.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 0.6667

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

แทนค่า

f′(2) = 8/12 = 0.6667

คำตอบ

f′(2) = 0.6667

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 3

จุดและความชัน

f(3) = −3

f′(x) = −2x + 4 → f′(3) = −2

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−2)·3 = 3

คำตอบ

b = 3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: S = 7500 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 250000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 125000 → x = 50 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

คำตอบ

S = 7500 cm²

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 35 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 20q − (100 + 6q + 0.2q²) = −0.2q² + 14q − 100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.4 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

14 − 0.4q = 0 → q = 35

กำไรสูงสุด

P = 14·35 − 0.2·35² − 100 = €145

คำตอบ

q = 35

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.742

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742

คำตอบ

I = 1.742

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 163.6

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

วิธีวงแหวน

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

คำตอบ

V = 163.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1