แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x²

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1)

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² + 2x − 4 ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² + 2x − 4x = −1

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 330 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 330 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €45 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 2500 + 4q + 0.05q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €45C = 2500 + 4q + 0.05q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.1353

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·(−1) = −2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻² = 0.1353

คำตอบ

L = 0.1353

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ใช้ครั้งแรก

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

1·e^−x/2

แทนค่า x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 1.382

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

คำตอบ

f′(1) = 1.382

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −4.5

จุดและความชัน

f(−1) = −5.5

f′(x) = x + 2 → f′(−1) = 1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5.5 − 1·(−1) = −4.5

คำตอบ

b = −4.5

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 264.4 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm

A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²

คำตอบ

A = 264.4 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 5905 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 45q − (2500 + 4q + 0.05q²) = −0.05q² + 41q − 2500

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

41 − 0.1q = 0 → q = 410

กำไรสูงสุด

P = 41·410 − 0.05·410² − 2500 = €5905

คำตอบ

P = €5905

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

คำตอบ

I = 1

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.602

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

คำตอบ

I = 3.602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1