แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² + 5x) − x)

f(x) = √(x² + 5x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (2x + 1)⁵ หา f′(−1)

f(x) = (2x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 1.5x² − 6x + 4 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 1.5x² − 6x + 4

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 200 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €40 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 200 m²€40/m€12/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €20 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 200 + 6q + 0.05q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €20C = 200 + 6q + 0.05q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = √(2x) จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 3

V =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀² x²·eˣ dx

∫₀² x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 5x/(√(x² + 5x) + x)

หารด้วย x

f(x) = 5/(√(1 + 5/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = 5/(1 + 1) = 2.5

คำตอบ

L = 2.5

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.25

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

แทนค่า x = 0

L = 1/4 = 0.25

คำตอบ

L = 0.25

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = 10

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(2x + 1)⁴·2

แทนค่า

f′(−1) = 5·(−1)⁴·2 = 10

คำตอบ

f′(−1) = 10

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −1 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 3: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

คำตอบ

x = 2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 999.2 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 52x + 4800/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 9600/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(4800/52) = 9.608 m

y = 200/9.608 = 20.82 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 52·9.608 + 4800/9.608 = €999.2

คำตอบ

C = €999.2

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 780 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 20q − (200 + 6q + 0.05q²) = −0.05q² + 14q − 200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

14 − 0.1q = 0 → q = 140

กำไรสูงสุด

P = 14·140 − 0.05·140² − 200 = €780

คำตอบ

P = €780

7.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 28.27

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀³ 2x dx

อินทิเกรต

V = π·2·3²/2 = 28.27

คำตอบ

V = 28.27

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12.78

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

คำตอบ

I = 12.78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1