แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·e^2x หา f′(1.5)

f(x) = x·e^2xx = 1.5

f′(1.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = x² − 4x ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x² − 4xx = 3

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 450 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €15 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 450 m²€15/m€12/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 240 ใบต่อรอบ ใบละ €15 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 10 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 10 ใบ) จงหาราคาตั๋ว p ที่ทำให้รายได้สูงสุด

240 × €1510 / €1

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 4x กับพาราโบลา y = x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 4xy = x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.718

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·1 = 1

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e¹ = 2.718

คำตอบ

L = 2.718

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.125

ใช้ครั้งแรก

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

2.25·e^1.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

คำตอบ

L = 1.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1.5) = 80.34

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

แทนค่า

f′(1.5) = 20.09·(1 + 3) = 80.34

คำตอบ

f′(1.5) = 80.34

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −9

จุดและความชัน

f(3) = −3

f′(x) = 2x − 4 → f′(3) = 2

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 2·3 = −9

คำตอบ

b = −9

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 1080 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 27x + 10800/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 21600/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(10800/27) = 20 m

y = 450/20 = 22.5 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 27·20 + 10800/20 = €1080

คำตอบ

C = €1080

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 19.5 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 390 − 10p

R(p) = 390p − 10p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −20 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 390/20 = €19.5

รายได้สูงสุด

n = 390 − 10·19.5 = 195

R = 19.5·195 = €3803

คำตอบ

p = €19.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 41.33

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

คำตอบ

I = 41.33

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 428.9

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

4x = 1x² → x = 0, x = 4

วิธีวงแหวน

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9

คำตอบ

V = 428.9

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1