แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x)

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x²

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(2x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1)

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 12x² + 45x − 4 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 4

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 250 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 250 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €25 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 1400 + 6q + 0.02q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €25C = 1400 + 6q + 0.02q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂¹⁰ 4/x dx

f(x) = 4/x[2, 10]

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

หารด้วย x

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = −10/(1 + 1) = −5

คำตอบ

L = −5

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^−2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 0.077

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

แทนค่า

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

คำตอบ

f′(1) = 0.077

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 5

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 3 หรือ x = 5

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 24: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

คำตอบ

x = 5

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 219.7 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3.414 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 250/(π·3.414²) = 2r = 6.828 cm

A = 2π·3.414² + 500/3.414 = 219.7 cm²

คำตอบ

A = 219.7 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 475 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 25q − (1400 + 6q + 0.02q²) = −0.02q² + 19q − 1400

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.04 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

19 − 0.04q = 0 → q = 475

กำไรสูงสุด

P = 19·475 − 0.02·475² − 1400 = €3113

คำตอบ

q = 475

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 6.438

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 4·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 4·(ln 10 − ln 2) = 4·ln 5 = 6.438

คำตอบ

I = 6.438

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.602

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

คำตอบ

I = 3.602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1