แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(2)

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 1.5x² − 3 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 1.5x² − 3

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 1000 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 1000 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 80 − 0.5q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 1000 + 10q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 80 − 0.5qC = 1000 + 10q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁴ 1/x dx

f(x) = 1/x[2, 4]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = 3x

y = 0.5x²y = 3x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.002479

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·(−2) = −6

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻⁶ = 0.002479

คำตอบ

L = 0.002479

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 3.125

ใช้ครั้งแรก

5·sin 5x/(8x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

25·cos 5x/8

แทนค่า x = 0

L = 25/8 = 3.125

คำตอบ

L = 3.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 5.482

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(2) = −0.2794 + 6·0.9602 = 5.482

คำตอบ

f′(2) = 5.482

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −1 หรือ x = 0

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 3: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

คำตอบ

x = −1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 553.6 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

คำตอบ

A = 553.6 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 1450 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (80 − 0.5q)·q − (1000 + 10q) = −0.5q² + 70q − 1000

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 70/1 = 70

ราคาและกำไร

p = 80 − 0.5·70 = €45

P = 70·70 − 0.5·70² − 1000 = €1450

คำตอบ

P = €1450

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.6931

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (ln 4 − ln 2) = ln 2 = 0.6931

คำตอบ

I = 0.6931

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 18

จุดตัด

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

คำตอบ

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1