แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x − 3)³ หา f′(1)

f(x) = (4x − 3)³x = 1

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 250 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหารัศมี r ที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 250 cm³

r = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 120 − 2q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 500 + 35q ยูโร จงหาราคา p ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 120 − 2qC = 500 + 35q

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 3x

y = 2x²y = 3x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 7.389

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·2 = 2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e² = 7.389

คำตอบ

L = 7.389

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.5

ใช้ครั้งแรก

3·sin 3x/(6x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

9·cos 3x/6

แทนค่า x = 0

L = 9/6 = 1.5

คำตอบ

L = 1.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 12

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

แทนค่า

f′(1) = 3·1²·4 = 12

คำตอบ

f′(1) = 12

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 3

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 12: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

คำตอบ

x = 3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: r = 3.414 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3.414 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 250/(π·3.414²) = 2r = 6.828 cm

A = 2π·3.414² + 500/3.414 = 219.7 cm²

คำตอบ

r = 3.414 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 77.5 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (120 − 2q)·q − (500 + 35q) = −2q² + 85q − 500

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −4 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 85/4 = 21.25

ราคาและกำไร

p = 120 − 2·21.25 = €77.5

P = 85·21.25 − 2·21.25² − 500 = €403.1

คำตอบ

p = €77.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.3424

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0.3424

คำตอบ

I = 0.3424

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.125

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

คำตอบ

A = 1.125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1