แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(9x² + 5x) − 3x)

f(x) = √(9x² + 5x) − 3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x − 1)⁴ หา f′(0)

f(x) = (4x − 1)⁴x = 0

f′(0) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 3 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 3

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 300 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €15 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 300 m²€15/m€12/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €65 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 100 + 44q + 0.25q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €65C = 100 + 44q + 0.25q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀¹ x²·eˣ dx

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.8333

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 5x/(√(9x² + 5x) + 3x)

หารด้วย x

f(x) = 5/(√(9 + 5/x) + 3)

ให้ x → ∞

L = 5/(3 + 3) = 0.8333

คำตอบ

L = 0.8333

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.6667

ใช้ครั้งแรก

2·sin 2x/(6x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·cos 2x/6

แทนค่า x = 0

L = 4/6 = 0.6667

คำตอบ

L = 0.6667

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0) = −16

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 4·(4x − 1)³·4

แทนค่า

f′(0) = 4·(−1)³·4 = −16

คำตอบ

f′(0) = −16

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −2 หรือ x = −1

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 9: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

คำตอบ

x = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 16.33 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 27x + 7200/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 14400/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(7200/27) = 16.33 m

y = 300/16.33 = 18.37 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 27·16.33 + 7200/16.33 = €881.8

คำตอบ

x = 16.33 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 341 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 65q − (100 + 44q + 0.25q²) = −0.25q² + 21q − 100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.5 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

21 − 0.5q = 0 → q = 42

กำไรสูงสุด

P = 21·42 − 0.25·42² − 100 = €341

คำตอบ

P = €341

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

คำตอบ

I = 1

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7183

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

คำตอบ

I = 0.7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1