แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 0.5/x)^2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x − 1)⁴ หา f′(0)

f(x) = (4x − 1)⁴x = 0

f′(0) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − x − 1 ที่ x = 2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − x − 1x = 2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 32000 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาพื้นที่ผิวต่ำสุด S

V = 32000 cm³

S = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 340 ใบต่อรอบ ใบละ €25 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 10 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 10 ใบ) จงหาราคาตั๋ว p ที่ทำให้รายได้สูงสุด

340 × €2510 / €1

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ e^−0.5x dx

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.718

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 0.5/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·0.5 = 1

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e¹ = 2.718

คำตอบ

L = 2.718

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

แทนค่า x = 0

L = 4/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0) = −16

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 4·(4x − 1)³·4

แทนค่า

f′(0) = 4·(−1)³·4 = −16

คำตอบ

f′(0) = −16

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −3

จุดและความชัน

f(2) = −1

f′(x) = x − 1 → f′(2) = 1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − 1·2 = −3

คำตอบ

b = −3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: S = 4800 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 128000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 64000 → x = 40 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

คำตอบ

S = 4800 cm²

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 29.5 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 590 − 10p

R(p) = 590p − 10p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −20 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 590/20 = €29.5

รายได้สูงสุด

n = 590 − 10·29.5 = 295

R = 29.5·295 = €8703

คำตอบ

p = €29.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7869

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

คำตอบ

I = 0.7869

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1