แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (2x² − 6x + 2)/(4x² + 5x + 3)

f(x) = (2x² − 6x + 2)/(4x² + 5x + 3)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = x² − 3x − 3 ที่ x = 2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x² − 3x − 3x = 2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 32000 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาความยาวด้านของฐาน x

V = 32000 cm³

x = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 60 − 0.1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 2400 + 20q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 60 − 0.1qC = 2400 + 20q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² e^0.5x dx

f(x) = e^0.5x[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = x

y = 0.5x²y = x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(2 + (−6)/x + 2/x²)/(4 + 5/x + 3/x²)

ให้ x → ∞

L = 2/4 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.125

ใช้ครั้งแรก

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

2.25·e^1.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

คำตอบ

L = 1.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 1.104

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

คำตอบ

f′(0.5) = 1.104

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −7

จุดและความชัน

f(2) = −5

f′(x) = 2x − 3 → f′(2) = 1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 1·2 = −7

คำตอบ

b = −7

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 40 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 128000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 64000 → x = 40 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

คำตอบ

x = 40 cm

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 1600 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (60 − 0.1q)·q − (2400 + 20q) = −0.1q² + 40q − 2400

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 40/0.2 = 200

ราคาและกำไร

p = 60 − 0.1·200 = €40

P = 40·200 − 0.1·200² − 2400 = €1600

คำตอบ

P = €1600

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.437

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^0.5x/0.5

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e¹ − 1)/0.5 = (2.718 − 1)/0.5 = 3.437

คำตอบ

I = 3.437

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.6667

จุดตัด

0.5x² = x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

คำตอบ

A = 0.6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1