แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² + 7x) − x)

f(x) = √(x² + 7x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(2)

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = x² − 2x + 5 ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x² − 2x + 5x = −2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 330 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 330 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €35 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 2200 + 18q + 0.02q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €35C = 2200 + 18q + 0.02q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₁³ x·ln x dx

∫₁³ x ln x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 2x กับพาราโบลา y = 0.5x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 2xy = 0.5x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 3.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 7x/(√(x² + 7x) + x)

หารด้วย x

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = 7/(1 + 1) = 3.5

คำตอบ

L = 3.5

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.4

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

แทนค่า x = 0

L = 2/5 = 0.4

คำตอบ

L = 0.4

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 0.077

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

คำตอบ

f′(2) = 0.077

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 1

จุดและความชัน

f(−2) = 13

f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−6)·(−2) = 1

คำตอบ

b = 1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 264.4 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm

A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²

คำตอบ

A = 264.4 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 1413 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 35q − (2200 + 18q + 0.02q²) = −0.02q² + 17q − 2200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.04 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

17 − 0.04q = 0 → q = 425

กำไรสูงสุด

P = 17·425 − 0.02·425² − 2200 = €1413

คำตอบ

P = €1413

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 2.944

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

ปฏิยานุพันธ์

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

ลิมิต

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

คำตอบ

I = 2.944

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 107.2

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

2x = 0.5x² → x = 0, x = 4

วิธีวงแหวน

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0.5x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2

คำตอบ

V = 107.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1