แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 0.5/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (−2x + 1)⁴ หา f′(−1)

f(x) = (−2x + 1)⁴x = −1

f′(−1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = x² − 3x + 2 ที่ x = 2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x² − 3x + 2x = 2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 400 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €40 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €5 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 400 m²€40/m€5/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 1960 ใบต่อรอบ ใบละ €20 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 40 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 40 ใบ) จงหาราคาตั๋ว p ที่ทำให้รายได้สูงสุด

1960 × €2040 / €1

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₁² 3/x dx

f(x) = 3/x[1, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 4.482

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 0.5/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·0.5 = 1.5

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e^1.5 = 4.482

คำตอบ

L = 4.482

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1

ใช้ครั้งแรก

2·sin 2x/(4x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·cos 2x/4

แทนค่า x = 0

L = 4/4 = 1

คำตอบ

L = 1

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = −216

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 4·(−2x + 1)³·(−2)

แทนค่า

f′(−1) = 4·3³·(−2) = −216

คำตอบ

f′(−1) = −216

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −2

จุดและความชัน

f(2) = 0

f′(x) = 2x − 3 → f′(2) = 1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 1·2 = −2

คำตอบ

b = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 9.428 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 45x + 4000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 8000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(4000/45) = 9.428 m

y = 400/9.428 = 42.43 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 45·9.428 + 4000/9.428 = €848.5

คำตอบ

x = 9.428 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 34.5 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 2760 − 40p

R(p) = 2760p − 40p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −80 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 2760/80 = €34.5

รายได้สูงสุด

n = 2760 − 40·34.5 = 1380

R = 34.5·1380 = €47610

คำตอบ

p = €34.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 2.079

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 3·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2.079

คำตอบ

I = 2.079

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.0609

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

คำตอบ

I = 0.0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1