แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(2)

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 5 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 5

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 450 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €15 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €5 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 450 m²€15/m€5/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 160 − 0.25q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 2900 + 40q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 160 − 0.25qC = 2900 + 40q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₁⁵ 2/x dx

f(x) = 2/x[1, 5]

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀² x²·eˣ dx

∫₀² x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.3679

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 1·(−1) = −1

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻¹ = 0.3679

คำตอบ

L = 0.3679

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.25

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

แทนค่า x = 0

L = 5/4 = 1.25

คำตอบ

L = 1.25

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 0.077

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

คำตอบ

f′(2) = 0.077

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 2 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

คำตอบ

x = 2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 15 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 20x + 4500/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 9000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(4500/20) = 15 m

y = 450/15 = 30 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 20·15 + 4500/15 = €600

คำตอบ

x = 15 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 11500 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (160 − 0.25q)·q − (2900 + 40q) = −0.25q² + 120q − 2900

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.5 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 120/0.5 = 240

ราคาและกำไร

p = 160 − 0.25·240 = €100

P = 120·240 − 0.25·240² − 2900 = €11500

คำตอบ

P = €11500

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.219

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 2·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 2·(ln 5 − ln 1) = 2·ln 5 = 3.219

คำตอบ

I = 3.219

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12.78

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

คำตอบ

I = 12.78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1