แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (−5x² + 6x − 3)/(x² + 5x + 2)

f(x) = (−5x² + 6x − 3)/(x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·e^−x หา f′(1.5)

f(x) = x·e^−xx = 1.5

f′(1.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 2x² − 4x ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 2x² − 4xx = 3

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 108000 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาพื้นที่ผิวต่ำสุด S

V = 108000 cm³

S = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €45 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 200 + 24q + 0.25q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €45C = 200 + 24q + 0.25q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π x·cos x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(−5 + 6/x + (−3)/x²)/(1 + 5/x + 2/x²)

ให้ x → ∞

L = −5/1 = −5

คำตอบ

L = −5

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

แทนค่า x = 0

L = 2/1 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1.5) = −0.1116

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

แทนค่า

f′(1.5) = 0.2231·(1 + (−1.5)) = −0.1116

คำตอบ

f′(1.5) = −0.1116

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −18

จุดและความชัน

f(3) = 6

f′(x) = 4x − 4 → f′(3) = 8

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 8·3 = −18

คำตอบ

b = −18

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: S = 10800 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 432000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 216000 → x = 60 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

คำตอบ

S = 10800 cm²

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 241 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 45q − (200 + 24q + 0.25q²) = −0.25q² + 21q − 200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.5 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

21 − 0.5q = 0 → q = 42

กำไรสูงสุด

P = 21·42 − 0.25·42² − 200 = €241

คำตอบ

P = €241

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = −2

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

คำตอบ

I = −2

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1