แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 0.5/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(2)

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 2 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 2

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 330 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 330 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €65 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 1500 + 4q + 0.25q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €65C = 1500 + 4q + 0.25q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₁³ 1/x dx

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 4.482

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 0.5/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·0.5 = 1.5

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e^1.5 = 4.482

คำตอบ

L = 4.482

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 5.482

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(2) = −0.2794 + 6·0.9602 = 5.482

คำตอบ

f′(2) = 5.482

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 2 หรือ x = 5

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 21: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

คำตอบ

x = 2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 264.4 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm

A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²

คำตอบ

A = 264.4 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 122 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 65q − (1500 + 4q + 0.25q²) = −0.25q² + 61q − 1500

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.5 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

61 − 0.5q = 0 → q = 122

กำไรสูงสุด

P = 61·122 − 0.25·122² − 1500 = €2221

คำตอบ

q = 122

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.099

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1.099

คำตอบ

I = 1.099

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1