แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 1/x)^2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(x² + 2) หา f′(3)

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 4 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 4

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 200 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €40 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €10 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 200 m²€40/m€10/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 90 − 0.25q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 1700 + 15q ยูโร จงหาปริมาณผลิตต่อสัปดาห์ q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 90 − 0.25qC = 1700 + 15q

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 3x

y = 2x²y = 3x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 7.389

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·1 = 2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e² = 7.389

คำตอบ

L = 7.389

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.125

ใช้ครั้งแรก

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

0.25·e^0.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

คำตอบ

L = 0.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(3) = 0.5455

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 2x/(x² + 2)

แทนค่า

f′(3) = 6/11 = 0.5455

คำตอบ

f′(3) = 0.5455

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 9: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

คำตอบ

x = 1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 894.4 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 50x + 4000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 8000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(4000/50) = 8.944 m

y = 200/8.944 = 22.36 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 50·8.944 + 4000/8.944 = €894.4

คำตอบ

C = €894.4

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 150 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (90 − 0.25q)·q − (1700 + 15q) = −0.25q² + 75q − 1700

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.5 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 75/0.5 = 150

ราคาและกำไร

p = 90 − 0.25·150 = €52.5

P = 75·150 − 0.25·150² − 1700 = €3925

คำตอบ

q = 150

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 156

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

คำตอบ

I = 156

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.125

จุดตัด

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

คำตอบ

A = 1.125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1