แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^−0.5x หา f′(2)

f(x) = x³·e^−0.5xx = 2

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 1 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 1

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 800 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €15 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 800 m²€15/m€12/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 775 ใบต่อรอบ ใบละ €15 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 25 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 25 ใบ) จงหารายได้สูงสุด R ต่อรอบ

775 × €1525 / €1

R = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ e^2x dx

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = 3x

y = 0.5x²y = 3x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 403.4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·2 = 6

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁶ = 403.4

คำตอบ

L = 403.4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.5

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

แทนค่า x = 0

L = 5/2 = 2.5

คำตอบ

L = 2.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 2.943

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(3x² + (−0.5)·x³)

แทนค่า

f′(2) = 0.3679·(12 + (−4)) = 2.943

คำตอบ

f′(2) = 2.943

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 6

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 3 หรือ x = 6

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 27: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

คำตอบ

x = 6

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 26.67 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 27x + 19200/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 38400/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(19200/27) = 26.67 m

y = 800/26.67 = 30 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 27·26.67 + 19200/26.67 = €1440

คำตอบ

x = 26.67 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: R = 13225 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 1150 − 25p

R(p) = 1150p − 25p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −50 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 1150/50 = €23

รายได้สูงสุด

n = 1150 − 25·23 = 575

R = 23·575 = €13225

คำตอบ

R = €13225

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.195

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^2x/2

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e² − 1)/2 = (7.389 − 1)/2 = 3.195

คำตอบ

I = 3.195

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 18

จุดตัด

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

คำตอบ

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1