แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x)

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^−0.5x หา f′(0.5)

f(x) = x³·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 4.5x² − 4 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 4.5x² − 4

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 13500 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาความยาวด้านของฐาน x

V = 13500 cm³

x = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €35 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 300 + 24q + 0.02q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €35C = 300 + 24q + 0.02q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀³ e^−0.5x dx

f(x) = e^−0.5x[0, 3]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = 2x

y = 0.5x²y = 2x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

หารด้วย x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

คำตอบ

L = −4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

4·sin 4x/(8x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

16·cos 4x/8

แทนค่า x = 0

L = 16/8 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 0.5354

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(3x² + (−0.5)·x³)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.7788·(0.75 + (−0.0625)) = 0.5354

คำตอบ

f′(0.5) = 0.5354

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 3

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 9x = 3·(x² − 3x)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 0 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 9: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(0) = −9, f″(3) = 9

x = 3

คำตอบ

x = 3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 30 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 54000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 27000 → x = 30 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

คำตอบ

x = 30 cm

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 1213 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 35q − (300 + 24q + 0.02q²) = −0.02q² + 11q − 300

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.04 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

11 − 0.04q = 0 → q = 275

กำไรสูงสุด

P = 11·275 − 0.02·275² − 300 = €1213

คำตอบ

P = €1213

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.554

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e^−1.5 − 1)/(−0.5) = (0.2231 − 1)/(−0.5) = 1.554

คำตอบ

I = 1.554

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 5.333

จุดตัด

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

คำตอบ

A = 5.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1