แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (x³ − 5x + 4)/(4x³ + 6x + 1)

f(x) = (x³ − 5x + 4)/(4x³ + 6x + 1)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x²

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x + 1)⁵ หา f′(0)

f(x) = (4x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 4.5x² + 6x + 6 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 4.5x² + 6x + 6

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 400 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €25 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 400 m²€25/m€12/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €25 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 1700 + 12q + 0.01q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €25C = 1700 + 12q + 0.01q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀¹ x²·eˣ dx

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.25

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(1 + (−5)/x² + 4/x³)/(4 + 6/x² + 1/x³)

ให้ x → ∞

L = 1/4 = 0.25

คำตอบ

L = 0.25

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ใช้ครั้งแรก

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

1·e^−x/2

แทนค่า x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0) = 20

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(4x + 1)⁴·4

แทนค่า

f′(0) = 5·1⁴·4 = 20

คำตอบ

f′(0) = 20

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 9: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

คำตอบ

x = 2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 1192 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 37x + 9600/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 19200/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(9600/37) = 16.11 m

y = 400/16.11 = 24.83 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 37·16.11 + 9600/16.11 = €1192

คำตอบ

C = €1192

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 2525 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 25q − (1700 + 12q + 0.01q²) = −0.01q² + 13q − 1700

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.02 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

13 − 0.02q = 0 → q = 650

กำไรสูงสุด

P = 13·650 − 0.01·650² − 1700 = €2525

คำตอบ

P = €2525

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.5708

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

คำตอบ

I = 0.5708

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7183

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

คำตอบ

I = 0.7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1