แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (−4x² + 4x − 9)/(3x² + 5x + 1)

f(x) = (−4x² + 4x − 9)/(3x² + 5x + 1)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (−2x − 1)³ หา f′(−1)

f(x) = (−2x − 1)³x = −1

f′(−1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 1.5x² + 1 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 1.5x² + 1

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 330 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหารัศมี r ที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 330 cm³

r = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 60 − 1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 100 + 20q ยูโร จงหาปริมาณผลิตต่อสัปดาห์ q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 60 − 1qC = 100 + 20q

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = x

y = 0.5x²y = x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −1.333

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(−4 + 4/x + (−9)/x²)/(3 + 5/x + 1/x²)

ให้ x → ∞

L = −4/3 = −1.333

คำตอบ

L = −1.333

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.25

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

แทนค่า x = 0

L = 1/4 = 0.25

คำตอบ

L = 0.25

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = −6

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 3·(−2x − 1)²·(−2)

แทนค่า

f′(−1) = 3·1²·(−2) = −6

คำตอบ

f′(−1) = −6

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −1 หรือ x = 0

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 3: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

คำตอบ

x = −1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: r = 3.745 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm

A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²

คำตอบ

r = 3.745 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 20 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (60 − 1q)·q − (100 + 20q) = −q² + 40q − 100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 40/2 = 20

ราคาและกำไร

p = 60 − 1·20 = €40

P = 40·20 − 1·20² − 100 = €300

คำตอบ

q = 20

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.4069

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

คำตอบ

I = 0.4069

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.6667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

0.5x² = x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

คำตอบ

A = 0.6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1