การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 ΩR5 = 2 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBIs​5 A

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 15 VIs = 5 AR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 12 ΩIR1​+−Vs​ = 15 V+−V1​5 VR2​5 ΩAR3​10 ΩBIs​3 A

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ A จึงทำให้ VA − VB = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 5 VIs = 3 AVs = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 Ω
IR1 = A
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​10 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 30 VV2 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 Ω
I1 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 5 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR4​3 ΩAR5​6 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I3 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 15 VV2 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 6 Ω
I3 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩIR2​AR4​2 ΩBIs​3 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR2 ผ่าน R2 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 3 ΩR2​ = 25 ΩIR2​R4​ = 4 Ω+−V1​12 VR3​20 ΩAIs​2 AB+−V2​24 V

ใช้หลักการซ้อนทับหากำลังไฟฟ้า PR2 ที่ R2 ดูดกลืน

V1 = 12 VIs = 2 AV2 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
PR2 = W
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩARL​4 ΩIL​B

ต่อโหลด RL = 4 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩRL = 4 Ω
IL = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​4 ABab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1.5 V

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = 1.5 VR1 = 10 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = 0.7 VR1​ = 100 kΩV2​ = 1.3 VR2​ = 4.7 kΩIf​

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หากระแส If ผ่านตัวต้านทานป้อนกลับ ที่ไหลไปทางเอาต์พุต

V1 = 0.7 VV2 = 1.3 VR1 = 100 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​24 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms ใน mJ

Vs = 24 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​24 Vt = 0R = 6.8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 2 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 250 ms

Vs = 24 VR = 6.8 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 Vt = 250 ms
vC = V

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.4167 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω
Req = R1 + 2.4 = 12 + 2.4 = 14.4 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 6/14.4 = 0.4167 A

คำตอบ

IR1 = 0.4167 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.3558 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 8.108 Ω
Req = R1 + 8.108 = 20 + 8.108 = 28.11 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/28.11 = 0.3558 A

คำตอบ

IR1 = 0.3558 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: IR1 = 2.925 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBIs​5 A

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 15 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 15)/5 + (VA − VB)/8 = 0
0.6583·VA − 0.125·VB = 3

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/8 = (−5)
−0.125·VA + 0.225·VB = −5

แก้สมการ

Δ = (0.6583)(0.225) − (−0.125)(−0.125) = 0.1325
VA = Δ1/Δ = 0.05/0.1325 = 0.3774 V
VB = Δ2/Δ = −2.917/0.1325 = −22.01 V

คำตอบ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − 0.3774)/5 = 2.925 A
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: IR1 = −0.6522 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA − 15
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

แก้สมการ

(VA − 5)/12 + VA/5 + (VA − 15)/10 = 3
VA·(1/12 + 1/5 + 1/10) = 3 + 5/12 + 15/10 = 4.917
VA = 4.917/0.3833 = 12.83 V
VB = −2.174 V

กระแสผ่าน R₁

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (5 − 12.83)/12 = −0.6522 A

คำตอบ

IR1 = −0.6522 A

ผลลัพธ์เป็นลบหมายความว่ากระแสจริงไหลสวนทางกับลูกศร

5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 0.9429 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​10 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 10(I1 − I2) = 30
30·I1 − 10·I2 = 30

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 10(I2 − I1) = (−12)
−10·I1 + 15·I2 = −12

แก้สมการ

Δ = (30)(15) − (−10)(−10) = 350
I1 = Δ1/Δ = 330/350 = 0.9429 A
I2 = Δ2/Δ = −60/350 = −0.1714 A

คำตอบ

I1 = 0.9429 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I3 = −2.657 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 5 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR4​3 ΩAR5​6 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
5·I1 + 3(I1 − I2) = 15
8·I1 − 3·I2 = 15

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 3(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−3·I1 + 34·I2 − 6·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 6(I3 − I2) = (−30)
−6·I2 + 12·I3 = −30

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 2868
I1 = Δ1/Δ = 5040/2868 = 1.757 A
I2 = Δ2/Δ = −900/2868 = −0.3138 A
I3 = Δ3/Δ = −7620/2868 = −2.657 A

คำตอบ

I3 = −2.657 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR2 = 0.9444 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​2 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 6+2 = 8 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
VA = 30·4.8/(6+4.8) = 13.33 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 13.33·2/8 = 3.333 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (13.33 − 0)/12 = 1.111 A
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩลัดวงจรR2​12 ΩAR4​2 ΩBIs​3 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 2 ∥ 10 = 1.667 Ω
VB = Is·Req = (−3)·1.667 = −5 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −5·4/10 = −2 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (−2 − 0)/12 = −0.1667 A

รวมผลที่ได้

IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 1.111 + (−0.1667) = 0.9444 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: PR2 = 11.64 W

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 3 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​12 VR3​20 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 20 ∥ 29 = 11.84 Ω
VA = 12·11.84/(3+11.84) = 9.574 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 9.574·4/29 = 1.32 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (9.574 − 1.32)/25 = 0.3301 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 4 ΩลัดวงจรR3​20 ΩAIs​2 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 2.609 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+2.609 = 27.61 Ω
Req = R4 ∥ 27.61 = 3.494 Ω
VB = Is·Req = 2·3.494 = 6.988 V
VA = VB·2.609/27.61 = 0.6602 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (0.6602 − 6.988)/25 = −0.2531 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 4 ΩลัดวงจรR3​20 ΩAเปิดวงจรB+−V2​24 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 24·27.61/31.61 = 20.96 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 20.96·2.609/27.61 = 1.981 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (1.981 − 20.96)/25 = −0.7593 A

บวกส่วนของกระแส

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴ = 0.3301 + (−0.2531) + (−0.7593) = −0.6823 A

กำลังในตัวต้านทาน

กำลังขึ้นกับกำลังสองของกระแส จึงไม่เป็นไปตามหลักการซ้อนทับ: ให้บวกกระแสก่อน แล้วจึงยกกำลังสอง

PR2 = IR2²·R2 = (−0.6823)²·25 = 11.64 W

คำตอบ

PR2 = 11.64 W

การบวกกำลังของแต่ละกรณีแยกกันจะได้ 18.74 W ซึ่งผิด

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = 0.5769 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩลัดวงจรR2​8 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 5 = 9 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·8/(8+8) = 7.5 V
Rth​ = 9 Ω+−Vth​7.5 VRL​4 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 7.5/(9 + 4) = 0.5769 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = 4.127 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 30·3/(30+3) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 8 = 10.73 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.364 + 4·2.727 = 12.27 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.27 + 4·8 = 44.27 V
IN​4.127 ARth​10.73 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = 44.27/10.73 = 4.127 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = 3 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อินพุตกลับเฟสตามอินพุต

V₋ = V₊ = 1.5 V
I = V₋/R1 = 1.5/10 = 0.15 mA

แรงดันเอาต์พุต

กระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₋ + I·Rf = 1.5 + 0.15·10 = 3 V

คำตอบ

Vout = 3 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: If = 0.2836 mA

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = 0.7/100 = 0.007 mA
I2 = V2/R2 = 1.3/4.7 = 0.2766 mA
If = I1 + I2 = 0.2836 mA

คำตอบ

If = 0.2836 mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 1.137 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0.48 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.48·(1 − e−1/0.2) = 0.4768 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·10·0.4768² = 1.137 mJ

คำตอบ

W = 1.137 mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 8.768 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(250) = 24 + (−22)·e−250/680 = 8.768 V

คำตอบ

vC = 8.768 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1