การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩIR2​AR4​3 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩIR2​AR4​30 ΩBR6​8 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 36 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​12 ΩBIs​2.5 A

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา แรงดันที่โหนด VA (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 6 VIs = 2.5 AR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
VA = V
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 15 Ω−+Vs​ = 6 VIx​+−V1​12 VR2​5 ΩAR3​6 ΩBIs​5 A

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ B จึงทำให้ VB − VA = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหากระแส Ix ผ่านแหล่งกำเนิดแรงดัน จาก A ไป B ตามลูกศร

V1 = 12 VIs = 5 AVs = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
Ix = A
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 12 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​20 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 18 VV2 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 Ω
I1 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 30 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR4​6 ΩAR5​5 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 Ω
I1 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBIs​2.5 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 9 VIs = 2.5 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 15 ΩR2​ = 30 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​10 VR3​8 ΩAIs​3 AB+−V2​30 V

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา แรงดัน VR2 ที่ตกคร่อม R2 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 10 VIs = 3 AV2 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω
VR2 = V
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩARL​8 ΩIL​B

ต่อโหลด RL = 8 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABRL​6 ΩIL​

ต่อโหลด RL = 6 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 10 VIs = 1.5 AR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩRL = 6 Ω
IL = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = 1.5 VRa​ = 100 kΩRb​ = 100 kΩ

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = 1.5 VRa = 100 kΩRb = 100 kΩR1 = 4.7 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​R2​ = 1 kΩV1​ = 1.6 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0.4 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 10 kΩ

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V อัตราส่วนของตัวต้านทานไม่ตรงกัน จงหาแรงดันเอาต์พุต Vout

V1 = 1.6 VV2 = 0.4 VR1 = 2 kΩR2 = 1 kΩR3 = 4.7 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 25 ms ใน mJ

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 25 ms
W = mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​10 Vt = 0R = 4.7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 5 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 40 ms

Vs = 10 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 Vt = 40 ms
vC = V

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.7285 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​3 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 8 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 6·11/(6+11) = 3.882 Ω
Req = R1 + 3.882 = 5 + 3.882 = 8.882 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/8.882 = 1.126 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.126·5 = 4.371 V
IR2 = VA/R2 = 4.371/6 = 0.7285 A

คำตอบ

IR2 = 0.7285 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 1.845 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 5 + 8 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 9.07 Ω
R3 + 9.07 = 17.07 Ω
R2 ∥ 17.07 = 6.306 Ω
Req = R1 + 6.306 = 6 + 6.306 = 12.31 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 36/12.31 = 2.925 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 2.925·6 = 18.45 V
IR2 = VA/R2 = 18.45/10 = 1.845 A

คำตอบ

IR2 = 1.845 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VA = 7.742 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​12 ΩBIs​2.5 A

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 6 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 6)/12 + (VA − VB)/8 = 0
0.3333·VA − 0.125·VB = 0.5

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/8 = 2.5
−0.125·VA + 0.2083·VB = 2.5

แก้สมการ

Δ = (0.3333)(0.2083) − (−0.125)(−0.125) = 0.05382
VA = Δ1/Δ = 0.4167/0.05382 = 7.742 V
VB = Δ2/Δ = 0.8958/0.05382 = 16.65 V

คำตอบ

VA = 7.742 V
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: Ix = −2.154 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA + 6
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

แก้สมการ

(VA − 12)/15 + VA/5 + (VA + 6)/6 = 5
VA·(1/15 + 1/5 + 1/6) = 5 + 12/15 − 6/6 = 4.8
VA = 4.8/0.4333 = 11.08 V
VB = 17.08 V

กระแสผ่านแหล่งกำเนิดแรงดัน

KCL ที่โนด A เพียงอย่างเดียว: กระแสที่มาผ่าน R₁ ไหลออกผ่าน R₂ และผ่านแหล่งกำเนิดแรงดัน

IR1 = (12 − 11.08)/15 = 0.06154 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 0.06154 − 11.08/5 = −2.154 A

คำตอบ

Ix = −2.154 A

ผลลัพธ์เป็นลบหมายความว่ากระแสจริงไหลสวนทางกับลูกศร

5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 0.5909 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 12 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​20 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 20(I1 − I2) = 18
32·I1 − 20·I2 = 18

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 20(I2 − I1) = (−10)
−20·I1 + 40·I2 = −10

แก้สมการ

Δ = (32)(40) − (−20)(−20) = 880
I1 = Δ1/Δ = 520/880 = 0.5909 A
I2 = Δ2/Δ = 40/880 = 0.04545 A

คำตอบ

I1 = 0.5909 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 1.014 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 30 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR4​6 ΩAR5​5 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
30·I1 + 6(I1 − I2) = 36
36·I1 − 6·I2 = 36

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
10·I2 + 6(I2 − I1) + 5(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 21·I2 − 5·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 5(I3 − I2) = (−15)
−5·I2 + 17·I3 = −15

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 11340
I1 = Δ1/Δ = 11502/11340 = 1.014 A
I2 = Δ2/Δ = 972/11340 = 0.08571 A
I3 = Δ3/Δ = −9720/11340 = −0.8571 A

คำตอบ

I1 = 1.014 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR1 = −0.1531 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 3+5 = 8 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
VA = 9·4.8/(5+4.8) = 4.408 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4.408·5/8 = 2.755 V
IR1′ = (VA − V1)/R1 = (4.408 − 9)/5 = −0.9184 A
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩลัดวงจรR2​12 ΩAR4​5 ΩBIs​2.5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 5 ∥ 6.529 = 2.832 Ω
VB = Is·Req = 2.5·2.832 = 7.079 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 7.079·3.529/6.529 = 3.827 V
IR1″ = (VA − V1)/R1 = (3.827 − 0)/5 = 0.7653 A

รวมผลที่ได้

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = (−0.9184) + 0.7653 = −0.1531 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: VR2 = 24.15 V

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​10 VR3​8 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 55 = 6.984 Ω
VA = 10·6.984/(15+6.984) = 3.177 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3.177·25/55 = 1.444 V
VR2′ = VA − VB = 3.177 − 1.444 = 1.733 V
R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 25 ΩลัดวงจรR3​8 ΩAIs​3 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 5.217 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+5.217 = 35.22 Ω
Req = R4 ∥ 35.22 = 14.62 Ω
VB = Is·Req = (−3)·14.62 = −43.86 V
VA = VB·5.217/35.22 = −6.498 V
VR2″ = VA − VB = −6.498 − −43.86 = 37.36 V
R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 25 ΩลัดวงจรR3​8 ΩAเปิดวงจรB+−V2​30 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 30·35.22/60.22 = 17.55 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 17.55·5.217/35.22 = 2.599 V
VR2‴ = VA − VB = 2.599 − 17.55 = −14.95 V

รวมผลที่ได้

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 1.733 + 37.36 + (−14.95) = 24.15 V

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงขั้วตรงข้ามกับที่ระบุไว้

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = 0.1776 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 ΩลัดวงจรR2​3 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 12 = 13.71 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(4+3) = 3.857 V
Rth​ = 13.71 Ω+−Vth​3.857 VRL​8 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.857/(13.71 + 8) = 0.1776 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = 1.121 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩลัดวงจรR2​6 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 3 = 6.429 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.286 + 1.5·3.429 = 9.429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9.429 + 1.5·3 = 13.93 V
Rth​ = 6.429 Ω+−Vth​13.93 VRL​6 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 13.93/(6.429 + 6) = 1.121 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = 2.346 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

แรงดันที่ขา +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 1.5·100/(100 + 100) = 0.75 V

อัตราขยายแบบไม่กลับเฟส

V₋ = V₊ และกระแสผ่าน R₁ ก็ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0.75·(1 + 10/4.7) = 2.346 V

คำตอบ

Vout = 2.346 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −0.3918 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

แรงดันที่ขา +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.4·10/(4.7 + 10) = 0.2721 V

ซ้อนทับอินพุตทั้งสอง

เมื่อ V₂ = 0, V₁ เห็นเป็นเครื่องขยายแบบกลับเฟส เมื่อ V₁ = 0, V₊ ถูกขยายด้วยอัตราขยายแบบไม่กลับเฟส 1 + R₂/R₁

Vout = −(1/2)·1.6 + (1 + 1/2)·0.2721 = −0.8 + 0.4082 = −0.3918 V

คำตอบ

Vout = −0.3918 V
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 43.09 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0.6818 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.6818·(1 − e−25/10) = 0.6259 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·220·0.6259² = 43.09 mJ

คำตอบ

W = 43.09 mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 6.604 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 10 + (5 − 10)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(40) = 10 + (−5)·e−40/103.4 = 6.604 V

คำตอบ

vC = 6.604 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1