การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩIR2​AR4​15 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​3 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBIs​3 A

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา แรงดันที่โหนด VB (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
VB = V
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​10 ΩIR4​B0.4·VA​

สัญลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัดคือแหล่งกำเนิดกระแสควบคุมด้วยแรงดันที่ดันกระแส 0.4·VA (ในหน่วย A โดย VA ในหน่วย V) ขึ้นเข้าโนด B ใช้การวิเคราะห์โนดหา กระแส IR4 ผ่าน R4 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 10 Ωg = 0.4 A/V
IR4 = A
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 5 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​4 ΩIR3​A+−V2​15 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 18 VV2 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
IR3 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 6 ΩR2​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR4​30 Ω+−VR4​AR5​25 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา แรงดัน VR4 ที่ตกคร่อม R4 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 9 VV2 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 30 ΩR5 = 25 Ω
VR4 = V
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩIR3​+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​6 ΩBIs​2 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 10 VIs = 2 AR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
IR3 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω−+VR2​R4​ = 8 Ω+−V1​15 VR3​8 ΩAIs​0.5 AB−+V2​10 V

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา แรงดัน VR2 ที่ตกคร่อม R2 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 15 VIs = 0.5 AV2 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
VR2 = V
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩARL​12 ΩIL​B

ต่อโหลด RL = 12 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
IL = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABRL​8 ΩIL​

ต่อโหลด RL = 8 Ω คร่อม a–b ใช้วงจรสมมูลเทวินินเพื่อหากำลัง PL ที่จ่ายให้โหลด

V1 = 36 VIs = 0.5 AR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩRL = 8 Ω
PL = W
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1.2 V

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = 1.2 VR1 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0.5 VR1​ = 10 kΩV2​ = −0.4 VR2​ = 2 kΩIf​

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หากระแส If ผ่านตัวต้านทานป้อนกลับ ที่ไหลไปทางเอาต์พุต

V1 = −0.5 VV2 = −0.4 VR1 = 10 kΩR2 = 2 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​20 Vt = 0R = 15 ΩL220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 25 ms ใน mJ

Vs = 20 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 25 ms
W = mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​9 VR1​ = 15 ΩR2​ = 22 Ωเปิดที่ t = 0L100 mHi(t)

สวิตช์คร่อม R2 ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หลังจาก t = 0 นานเท่าใด t กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงถึง 0.386 A

Vs = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 22 ΩL = 100 mH
t = ms

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 2.077 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 3 + 15 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω
Req = R1 + 1.8 = 6 + 1.8 = 7.8 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 18/7.8 = 2.308 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2.308·6 = 4.154 V
IR2 = VA/R2 = 4.154/2 = 2.077 A

คำตอบ

IR2 = 2.077 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 2.238 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​2 ΩBR6​3 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 5 + 3 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 1.6 Ω
R3 + 1.6 = 11.6 Ω
R2 ∥ 11.6 = 2.974 Ω
Req = R1 + 2.974 = 5 + 2.974 = 7.974 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 24/7.974 = 3.01 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 3.01·5 = 8.952 V
IR2 = VA/R2 = 8.952/4 = 2.238 A

คำตอบ

IR2 = 2.238 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VB = 20.06 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBIs​3 A

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 15 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 15)/5 + (VA − VB)/6 = 0
0.45·VA − 0.1667·VB = 3

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/6 = 3
−0.1667·VA + 0.2667·VB = 3

แก้สมการ

Δ = (0.45)(0.2667) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.09222
VA = Δ1/Δ = 1.3/0.09222 = 14.1 V
VB = Δ2/Δ = 1.85/0.09222 = 20.06 V

คำตอบ

VB = 20.06 V
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: IR4 = 2.5 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

KCL ที่โนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งกำเนิดดันเข้า A

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.1733·VA − 0.03333·VB = 0.5

KCL ที่โนด B

แหล่งกำเนิดไม่อิสระดัน g·VA เข้าโนด B ให้ปฏิบัติเหมือนแหล่งกำเนิดอิสระ แล้วย้ายพจน์ VA ไปทางซ้ายมือ

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.4·VA
−0.4333·VA + 0.1333·VB = 0

แก้สมการ

Δ = (0.1733)(0.1333) − (−0.03333)(−0.4333) = 0.008667
VA = Δ1/Δ = 0.06667/0.008667 = 7.692 V
VB = Δ2/Δ = 0.2167/0.008667 = 25 V

กระแสผ่าน R₄

IR4 = VB/R4 = 25/10 = 2.5 A

คำตอบ

IR4 = 2.5 A
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: IR3 = 2.273 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 5 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​4 ΩA+−V2​15 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
5·I1 + 4(I1 − I2) = 18
9·I1 − 4·I2 = 18

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
12·I2 + 4(I2 − I1) = (−15)
−4·I1 + 16·I2 = −15

แก้สมการ

Δ = (9)(16) − (−4)(−4) = 128
I1 = Δ1/Δ = 228/128 = 1.781 A
I2 = Δ2/Δ = −63/128 = −0.4922 A

คำตอบ

IR3 = I1 − I2 = 2.273 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: VR4 = 8.372 V

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 6 ΩR2​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR4​30 ΩAR5​25 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
6·I1 + 30(I1 − I2) = 9
36·I1 − 30·I2 = 9

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
2·I2 + 30(I2 − I1) + 25(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 57·I2 − 25·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 25(I3 − I2) = (−15)
−25·I2 + 37·I3 = −15

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 20124
I1 = Δ1/Δ = 2106/20124 = 0.1047 A
I2 = Δ2/Δ = −3510/20124 = −0.1744 A
I3 = Δ3/Δ = −10530/20124 = −0.5233 A

คำตอบ

IR4 = I1 − I2 = 0.2791 A
VR4 = IR4·R4 = 0.2791·30 = 8.372 V

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR3 = 2.053 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​6 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 2+6 = 8 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω
VA = 10·3.429/(2+3.429) = 6.316 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6.316·6/8 = 4.737 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (6.316 − 4.737)/2 = 0.7895 A
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩลัดวงจรR2​6 ΩAR4​6 ΩBIs​2 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 6 ∥ 3.5 = 2.211 Ω
VB = Is·Req = (−2)·2.211 = −4.421 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −4.421·1.5/3.5 = −1.895 V
IR3″ = (VA − VB)/R3 = (−1.895 − −4.421)/2 = 1.263 A

รวมผลที่ได้

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = 0.7895 + 1.263 = 2.053 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: VR2 = −3.081 V

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​15 VR3​8 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 12 = 4.8 Ω
VA = 15·4.8/(10+4.8) = 4.865 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4.865·8/12 = 3.243 V
VR2′ = VB − VA = 3.243 − 4.865 = −1.622 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 ΩลัดวงจรR3​8 ΩAIs​0.5 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 4.444 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+4.444 = 8.444 Ω
Req = R4 ∥ 8.444 = 4.108 Ω
VB = Is·Req = 0.5·4.108 = 2.054 V
VA = VB·4.444/8.444 = 1.081 V
VR2″ = VB − VA = 2.054 − 1.081 = 0.973 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 ΩลัดวงจรR3​8 ΩAเปิดวงจรB−+V2​10 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−10)·8.444/16.44 = −5.135 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −5.135·4.444/8.444 = −2.703 V
VR2‴ = VB − VA = −5.135 − −2.703 = −2.432 V

รวมผลที่ได้

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = (−1.622) + 0.973 + (−2.432) = −3.081 V

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงขั้วตรงข้ามกับที่ระบุไว้

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = 0.09259 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩลัดวงจรR2​2 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 8 = 9.6 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·2/(8+2) = 2 V
Rth​ = 9.6 Ω+−Vth​2 VRL​12 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 2/(9.6 + 12) = 0.09259 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: PL = 2.052 W

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩลัดวงจรR2​4 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 25 = 28.53 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.235 + 0.5·3.529 = 6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6 + 0.5·25 = 18.5 V
Rth​ = 28.53 Ω+−Vth​18.5 VRL​8 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 18.5/(28.53 + 8) = 0.5064 A
PL = IL²·RL = 0.5064²·8 = 2.052 W
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = 6.84 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อินพุตกลับเฟสตามอินพุต

V₋ = V₊ = 1.2 V
I = V₋/R1 = 1.2/10 = 0.12 mA

แรงดันเอาต์พุต

กระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₋ + I·Rf = 1.2 + 0.12·47 = 6.84 V

คำตอบ

Vout = 6.84 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: If = −0.25 mA

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = −0.5/10 = −0.05 mA
I2 = V2/R2 = −0.4/2 = −0.2 mA
If = I1 + I2 = −0.25 mA

คำตอบ

If = −0.25 mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 130.9 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1.333 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 1.333·(1 − e−25/14.67) = 1.091 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·220·1.091² = 130.9 mJ

คำตอบ

W = 130.9 mJ
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 2.475 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 9/15 = 0.6 A
i(∞) = 9/(15 + 22) = 0.2432 A
τ = L/R = 100/37 = 2.703 ms
i(t) = 0.2432 + (0.6 − 0.2432)·e−t/τ

แก้สมการหาเวลา

e−t/τ = (0.386 − 0.2432)/(0.6 − 0.2432) = 0.4002
t = 2.703·ln(2.499) = 2.475 ms

คำตอบ

t = 2.475 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1