การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩIR2​AR4​10 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
−+Vs​ = 12 VIx​Is​2 AAR1​20 ΩR2​3 ΩB

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ B จึงทำให้ VB − VA = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหากระแส Ix ผ่านแหล่งกำเนิดแรงดัน จาก A ไป B ตามลูกศร

Is = 2 AVs = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 3 Ω
Ix = A
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​8 ΩAR5​15 ΩBIs​0.5 A+−V2​36 V

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา แรงดันที่โหนด VB (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 6 VIs = 0.5 AV2 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 Ω
VB = V
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 2 ΩIR1​R2​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​4 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 30 VV2 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 Ω
IR1 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 8 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR4​20 ΩAR5​15 ΩIR5​B+−V2​6 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแส IR5 ผ่าน R5 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 9 VV2 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 Ω
IR5 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 ΩIR3​+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​20 ΩBIs​5 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR3 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 3 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩIR3​AIs​0.5 AB+−V2​36 V

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR3 ผ่าน R3 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 18 VIs = 0.5 AV2 = 36 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 Ω
IR3 = A
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 6 VIs = 0.5 AR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −2 V

ออปแอมป์เป็นแบบอุดมคติและใช้แหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

Vin = −2 VR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 0.2 VR1​ = 2 kΩV2​ = 2 VR2​ = 100 kΩ

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หาแรงดันเอาต์พุต Vout

V1 = 0.2 VV2 = 2 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​12 Vt = 0R = 20 ΩL150 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน vL คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms

Vs = 12 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​15 Vเปิดที่ t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 2.2 kΩC220 µF+−vC​

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 300 ms

Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 300 ms
vC = V

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.7692 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 5 + 10 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 5 + 4.286 = 9.286 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/9.286 = 1.077 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.077·5 = 4.615 V
IR2 = VA/R2 = 4.615/6 = 0.7692 A

คำตอบ

IR2 = 0.7692 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 19.24 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 2.667 Ω
R3 + 2.667 = 14.67 Ω
R2 ∥ 14.67 = 9.244 Ω
Req = R1 + 9.244 = 10 + 9.244 = 19.24 Ω

คำตอบ

Req = 19.24 Ω
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: Ix = 2.261 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA + Vs = VA + 12
VA/R1 + VB/R2 = Is

แก้สมการ

VA/20 + (VA + 12)/3 = 2
VA = (2 − 12/3)/(1/20 + 1/3) = −5.217 V
VB = −5.217 + 12 = 6.783 V

กระแสผ่านแหล่งกำเนิดแรงดัน

ทุกอย่างที่ผ่านแหล่งกำเนิดจาก A ไป B จะออกจากโนด B ผ่าน R₂

Ix = VB/R2 = 6.783/3 = 2.261 A

คำตอบ

Ix = 2.261 A

ผลลัพธ์เป็นลบหมายความว่ากระแสจริงไหลสวนทางกับลูกศร

4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VB = 17.14 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​8 ΩAR5​15 ΩBIs​0.5 A+−V2​36 V

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 6 V, V2 = 36 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 6)/10 + (VA − VB)/4 = 0
0.475·VA − 0.25·VB = 0.6

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/4 + (VB − 36)/8 = 0.5
−0.25·VA + 0.4417·VB = 5

แก้สมการ

Δ = (0.475)(0.4417) − (−0.25)(−0.25) = 0.1473
VA = Δ1/Δ = 1.515/0.1473 = 10.29 V
VB = Δ2/Δ = 2.525/0.1473 = 17.14 V

คำตอบ

VB = 17.14 V
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: IR1 = 6.75 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 2 ΩR2​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​4 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
2·I1 + 4(I1 − I2) = 30
6·I1 − 4·I2 = 30

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
4·I2 + 4(I2 − I1) = (−6)
−4·I1 + 8·I2 = −6

แก้สมการ

Δ = (6)(8) − (−4)(−4) = 32
I1 = Δ1/Δ = 216/32 = 6.75 A
I2 = Δ2/Δ = 84/32 = 2.625 A

คำตอบ

IR1 = I1 = 6.75 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: IR5 = 0.3102 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 8 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR4​20 ΩAR5​15 ΩB+−V2​6 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 20(I1 − I2) = 9
28·I1 − 20·I2 = 9

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
15·I2 + 20(I2 − I1) + 15(I2 − I3) = 0
−20·I1 + 50·I2 − 15·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 15(I3 − I2) = (−6)
−15·I2 + 21·I3 = −6

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 14700
I1 = Δ1/Δ = 5625/14700 = 0.3827 A
I2 = Δ2/Δ = 1260/14700 = 0.08571 A
I3 = Δ3/Δ = −3300/14700 = −0.2245 A

คำตอบ

IR5 = I2 − I3 = 0.3102 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR3 = 3.58 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​20 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 3+20 = 23 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·23/(6+23) = 4.759 Ω
VA = 10·4.759/(12+4.759) = 2.84 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2.84·20/23 = 2.469 V
IR3′ = (VB − VA)/R3 = (2.469 − 2.84)/3 = −0.1235 A
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 ΩลัดวงจรR2​6 ΩAR4​20 ΩBIs​5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 20 ∥ 7 = 5.185 Ω
VB = Is·Req = 5·5.185 = 25.93 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 25.93·4/7 = 14.81 V
IR3″ = (VB − VA)/R3 = (25.93 − 14.81)/3 = 3.704 A

รวมผลที่ได้

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = (−0.1235) + 3.704 = 3.58 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR3 = 0.749 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 3 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 25 ∥ 25 = 12.5 Ω
VA = 18·12.5/(3+12.5) = 14.52 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 14.52·15/25 = 8.71 V
IR3′ = (VA − 0)/R3 = (14.52 − 0)/25 = 0.5806 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 ΩลัดวงจรR3​25 ΩAIs​0.5 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 2.679 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+2.679 = 12.68 Ω
Req = R4 ∥ 12.68 = 6.871 Ω
VB = Is·Req = 0.5·6.871 = 3.435 V
VA = VB·2.679/12.68 = 0.7258 V
IR3″ = (VA − 0)/R3 = (0.7258 − 0)/25 = 0.02903 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 ΩลัดวงจรR3​25 ΩAเปิดวงจรB+−V2​36 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 36·12.68/27.68 = 16.49 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 16.49·2.679/12.68 = 3.484 V
IR3‴ = (VA − 0)/R3 = (3.484 − 0)/25 = 0.1394 A

รวมผลที่ได้

IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴
IR3 = 0.5806 + 0.02903 + 0.1394 = 0.749 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = 3.333 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩลัดวงจรR2​15 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 2 = 4.5 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·15/(3+15) = 15 V
IN​3.333 ARth​4.5 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = 15/4.5 = 3.333 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = 0.7051 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 ΩลัดวงจรR2​4 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3.158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.158 + 3 = 6.158 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.263 + 0.5·3.158 = 2.842 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 2.842 + 0.5·3 = 4.342 V
IN​0.7051 ARth​6.158 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = 4.342/6.158 = 0.7051 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −6.7 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อินพุตกลับเฟสตามอินพุต

V₋ = V₊ = −2 V
I = V₋/R1 = −2/2 = −1 mA

แรงดันเอาต์พุต

กระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย

Vout = V₋ + I·Rf = −2 + (−1)·4.7 = −6.7 V

คำตอบ

Vout = −6.7 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −5.64 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = 0.2/2 = 0.1 mA
I2 = V2/R2 = 2/100 = 0.02 mA
If = I1 + I2 = 0.12 mA

แรงดันเอาต์พุต

Vout = −Rf·If = −47·0.12 = −5.64 V

คำตอบ

Vout = −5.64 V
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vL = 6.161 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms
i(∞) = Vs/R = 12/20 = 0.6 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−5/7.5 = 6.161 V

คำตอบ

vL = 6.161 V
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 1.455 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

vC(0) = 15·2.2/(10 + 2.2) = 2.705 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R2·C = 2.2·220 = 484 ms

การคายประจุ

vC(t) = 2.705·e−300/484 = 1.455 V

คำตอบ

vC = 1.455 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1