การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​10 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
−+Vs​ = 10 VIs​1 AAR1​5 ΩR2​15 ΩB

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ B จึงทำให้ VB − VA = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหา แรงดันที่โหนด VB (วัดเทียบกับกราวด์)

Is = 1 AVs = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 15 Ω
VB = V
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 2 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​2 ΩAR5​6 ΩBIs​1.5 A−+V2​24 V

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา แรงดันที่โหนด VA (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 30 VIs = 1.5 AV2 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 ΩR5 = 6 Ω
VA = V
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 20 ΩR2​ = 15 Ω+−VR2​+−V1​24 VR3​5 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา แรงดัน VR2 ที่ตกคร่อม R2 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 24 VV2 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
VR2 = V
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 6 ΩIR1​R2​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 12 VV2 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 Ω
IR1 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBIs​5 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR1 ผ่าน R1 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 6 VIs = 5 AR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 4 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​36 VR3​15 ΩAIs​1.5 AB+−V2​30 V

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา กระแส IR4 ผ่าน R4 ในทิศทางตามลูกศร

V1 = 36 VIs = 1.5 AV2 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR4 = A
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 30 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​6 ABab

หากระแสนอร์ตัน IN คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V1 = 15 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 47 kΩVin​

เลือกตัวต้านทานป้อนกลับ Rf ที่ทำให้เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟสนี้มีอัตราขยายแรงดัน 10

R1 = 47 kΩAv = 10
Rf = kΩ
12.วงจรออปแอมป์ยาก
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩV1​ = −0.7 VR1​ = 47 kΩV2​ = 0.3 VR2​ = 2 kΩIf​

เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V หากระแส If ผ่านตัวต้านทานป้อนกลับ ที่ไหลไปทางเอาต์พุต

V1 = −0.7 VV2 = 0.3 VR1 = 47 kΩR2 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
If = mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 30 ms

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 30 ms
i = A
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​20 VR1​ = 10 ΩR2​ = 10 Ωเปิดที่ t = 0L47 mHi(t)

สวิตช์คร่อม R2 ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 5 ms

Vs = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 2.395 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2.526 Ω
Req = R1 + 2.526 = 10 + 2.526 = 12.53 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 30/12.53 = 2.395 A

คำตอบ

IR1 = 2.395 A
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 1.857 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 11.11 Ω
R3 + 11.11 = 31.11 Ω
R2 ∥ 31.11 = 2.736 Ω
Req = R1 + 2.736 = 12 + 2.736 = 14.74 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 30/14.74 = 2.036 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2.036·12 = 5.57 V
IR2 = VA/R2 = 5.57/3 = 1.857 A

คำตอบ

IR2 = 1.857 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VB = 11.25 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA + Vs = VA + 10
VA/R1 + VB/R2 = Is

แก้สมการ

VA/5 + (VA + 10)/15 = 1
VA = (1 − 10/15)/(1/5 + 1/15) = 1.25 V
VB = 1.25 + 10 = 11.25 V

คำตอบ

VB = 11.25 V
4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VA = 13.6 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

R1​ = 2 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​2 ΩAR5​6 ΩBIs​1.5 A−+V2​24 V

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V1 = 30 V, V2 = −24 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: VA, VB

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/2 + (VA − 30)/2 + (VA − VB)/15 = 0
1.067·VA − 0.06667·VB = 15

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/15 + (VB − (−24))/4 = 1.5
−0.06667·VA + 0.4833·VB = −4.5

แก้สมการ

Δ = (1.067)(0.4833) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.5111
VA = Δ1/Δ = 6.95/0.5111 = 13.6 V
VB = Δ2/Δ = −3.8/0.5111 = −7.435 V

คำตอบ

VA = 13.6 V
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: VR2 = −19.89 V

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 20 ΩR2​ = 15 Ω+−V1​24 VR3​5 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 5(I1 − I2) = 24
25·I1 − 5·I2 = 24

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
15·I2 + 5(I2 − I1) = (−30)
−5·I1 + 20·I2 = −30

แก้สมการ

Δ = (25)(20) − (−5)(−5) = 475
I1 = Δ1/Δ = 330/475 = 0.6947 A
I2 = Δ2/Δ = −630/475 = −1.326 A

คำตอบ

IR2 = I2 = −1.326 A
VR2 = IR2·R2 = −1.326·15 = −19.89 V

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: IR1 = 0.866 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
6·I1 + 5(I1 − I2) = 12
11·I1 − 5·I2 = 12

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 5(I2 − I1) + 10(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 40·I2 − 10·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
2·I3 + 10(I3 − I2) = (−24)
−10·I2 + 12·I3 = −24

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 3880
I1 = Δ1/Δ = 3360/3880 = 0.866 A
I2 = Δ2/Δ = −1920/3880 = −0.4948 A
I3 = Δ3/Δ = −9360/3880 = −2.412 A

คำตอบ

IR1 = I1 = 0.866 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR1 = −0.618 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 12+10 = 22 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 8·22/(8+22) = 5.867 Ω
VA = 6·5.867/(6+5.867) = 2.966 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2.966·10/22 = 1.348 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (6 − 2.966)/6 = 0.5056 A
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩลัดวงจรR2​8 ΩAR4​10 ΩBIs​5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 10 ∥ 15.43 = 6.067 Ω
VB = Is·Req = 5·6.067 = 30.34 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 30.34·3.429/15.43 = 6.742 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 6.742)/6 = −1.124 A

รวมผลที่ได้

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 0.5056 + (−1.124) = −0.618 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: IR4 = −0.4907 A

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 4 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​36 VR3​15 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 15 ∥ 25 = 9.375 Ω
VA = 36·9.375/(4+9.375) = 25.23 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 25.23·20/25 = 20.19 V
IR4′ = (VB − V2)/R4 = (20.19 − 0)/20 = 1.009 A
R1​ = 4 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 20 ΩลัดวงจรR3​15 ΩAIs​1.5 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 3.158 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+3.158 = 8.158 Ω
Req = R4 ∥ 8.158 = 5.794 Ω
VB = Is·Req = (−1.5)·5.794 = −8.692 V
VA = VB·3.158/8.158 = −3.364 V
IR4″ = (VB − V2)/R4 = (−8.692 − 0)/20 = −0.4346 A
R1​ = 4 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 20 ΩลัดวงจรR3​15 ΩAเปิดวงจรB+−V2​30 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 30·8.158/28.16 = 8.692 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 8.692·3.158/8.158 = 3.364 V
IR4‴ = (VB − V2)/R4 = (8.692 − 30)/20 = −1.065 A

รวมผลที่ได้

IR4 = IR4′ + IR4″ + IR4‴
IR4 = 1.009 + (−0.4346) + (−1.065) = −0.4907 A

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงกระแสไหลทวนลูกศร

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = 1.034 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩลัดวงจรR2​5 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 5 = 8.529 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·5/(12+5) = 8.824 V
IN​1.034 ARth​8.529 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = 8.824/8.529 = 1.034 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IN = 6.111 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩลัดวงจรR2​12 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 30·12/(30+12) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 30 = 38.57 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.286 + 6·8.571 = 55.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 55.71 + 6·30 = 235.7 V
IN​6.111 ARth​38.57 Ωab

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

IN = Vth/Rth = 235.7/38.57 = 6.111 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Rf = 423 kΩ

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อัตราขยายของเครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส

V₋ = V₊ = Vin และกระแสผ่าน R₁ ไหลผ่าน Rf ด้วย ดังนั้น Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (10 − 1)·47 = 423 kΩ

คำตอบ

Rf = 423 kΩ
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: If = 0.1351 mA

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

กระแสอินพุต

V₋ = 0 ดังนั้นตัวต้านทานอินพุตแต่ละตัวมีแรงดันอินพุตเต็มค่าคร่อมอยู่

I1 = V1/R1 = −0.7/47 = −0.01489 mA
I2 = V2/R2 = 0.3/2 = 0.15 mA
If = I1 + I2 = 0.1351 mA

คำตอบ

If = 0.1351 mA
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.4673 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0.5 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.5·(1 − e−30/11) = 0.4673 A

คำตอบ

i = 0.4673 A
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 1.119 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 20/10 = 2 A
i(∞) = 20/(10 + 10) = 1 A
τ = L/R = 47/20 = 2.35 ms
i(t) = 1 + (2 − 1)·e−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(5) = 1 + (1)·e−5/2.35 = 1.119 A

คำตอบ

i = 1.119 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1