การวิเคราะห์วงจร 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์
ΣIin = ΣIout
กระแสสาขา
I = (Va − Vb)/R
โหนดอ้างอิง
Vground = 0

วิธีการ

  1. เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
  2. เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
  3. เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (Va − Vb)/R
  4. แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

การวิเคราะห์เมช

กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์
ΣV = 0 รอบทุกลูป
ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกัน
กระแส = I1 − I2
แหล่งจ่ายกระแสในเมช
กำหนดกระแสเมชนั้น

วิธีการ

  1. วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในทุกเมช (ช่อง) ของวงจร
  2. ใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละเมช: ผลรวมแรงดันตกเป็นศูนย์
  3. ในตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมช กระแสคือผลต่างของกระแสเมชทั้งสอง
  4. แก้สมการ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่ากระแสไหลไปทางตรงข้าม

การซ้อนทับ

การซ้อนทับ
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
แหล่งจ่ายแรงดันที่ปิดอยู่
ลัดวงจร (0 V)
แหล่งจ่ายกระแสที่ปิดอยู่
วงจรเปิด (0 A)
ตัวแบ่งแรงดัน
V2 = V·R2/(R1 + R2)
ตัวแบ่งกระแส
I1 = I·R2/(R1 + R2)

วิธีการ

  1. นับแหล่งจ่ายอิสระ คุณจะแก้วงจรที่ง่ายกว่าหนึ่งวงจรต่อหนึ่งแหล่งจ่าย
  2. เก็บแหล่งจ่ายไว้หนึ่งตัวแล้วปิดตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันกลายเป็นลัดวงจร (เส้นลวด) แหล่งจ่ายกระแสกลายเป็นวงจรเปิด (ช่องว่าง)
  3. แก้วงจรที่ง่ายกว่าเพื่อหาแรงดันหรือกระแสที่ต้องการ โดยติดตามทิศทางของมัน
  4. ทำซ้ำสำหรับทุกแหล่งจ่าย แล้วบวกส่วนที่ได้พร้อมเครื่องหมาย

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน
Vth = Vopen circuit
ความต้านทานเทวินิน
Rth: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน
IN = Vth/Rth
กระแสโหลด
IL = Vth/(Rth + RL)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

วิธีการ

  1. ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
  2. หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ Vth
  3. ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ Rth
  4. ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: Vth อนุกรมกับ Rth
  5. สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: IN = Vth/Rth โดยมี RN = Rth ต่อขนาน

วงจรออปแอมป์

เครื่องขยายแบบกลับเฟส
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
เครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
เครื่องขยายแบบรวมสัญญาณ
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
ออปแอมป์อุดมคติ
V+ = V−, Iin = 0

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​10 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​5 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 25 ΩR5 = 30 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง
R1​5 Ω+−V1​10 VR2​12 Ω+−V2​12 VR3​20 ΩI3​A

สามกิ่งต่อระหว่างโนด A กับกราวด์ ตามที่แสดง ใช้การวิเคราะห์โนดหากระแส I3 ในกิ่ง 3 ซึ่งไหลขึ้นเข้าสู่โนด A ตามทิศของลูกศร

V1 = 10 VR1 = 5 ΩV2 = 12 VR2 = 12 ΩR3 = 20 Ω
I3 = A
4.การวิเคราะห์โหนดยาก
R1​ = 15 Ω+−Vs​ = 10 V+−V1​9 VR2​4 ΩAR3​15 ΩBIs​1.5 A

แหล่งกำเนิดแรงดัน Vₛ ระหว่าง A และ B มีขั้ว + ที่ A จึงทำให้ VA − VB = Vₛ ใช้การวิเคราะห์โนดด้วยซูเปอร์โนดหา แรงดันที่โหนด VA (วัดเทียบกับกราวด์)

V1 = 9 VIs = 1.5 AVs = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
VA = V
5.การวิเคราะห์เมชปานกลาง
R1​ = 6 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​24 VR3​3 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I2 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 24 VV2 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
I2 = A
6.การวิเคราะห์เมชยาก
R1​ = 4 ΩR2​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR4​10 ΩAR5​3 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

ใช้การวิเคราะห์เมชเพื่อหา กระแสเมช I1 (ตามเข็มนาฬิกา)

V1 = 9 VV2 = 5 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 3 Ω
I1 = A
7.การซ้อนทับปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 Ω−+VR2​AR4​2 ΩBIs​5 A

ใช้การซ้อนทับ (superposition) เพื่อหา แรงดัน VR2 ที่ตกคร่อม R2 ตามขั้วที่แสดง

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 Ω
VR2 = V
8.การซ้อนทับยาก
R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​9 VR3​4 ΩIR3​AIs​1 AB−+V2​30 V

ใช้หลักการซ้อนทับหากำลังไฟฟ้า PR3 ที่ R3 ดูดกลืน

V1 = 9 VIs = 1 AV2 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 25 Ω
PR3 = W
9.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩARL​5 ΩIL​B

ต่อโหลด RL = 5 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩRL = 5 Ω
IL = A
10.เทวินินและนอร์ตันยาก
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAIs​4 ABRL​20 ΩIL​

ต่อโหลด RL = 20 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด IL

V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩRL = 20 Ω
IL = A
11.วงจรออปแอมป์ปานกลาง
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 1.9 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 1.1 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 22 kΩ

เครื่องขยายผลต่างใช้ออปแอมป์อุดมคติที่มีแหล่งจ่าย ±15 V โดย R3 = R1 และ R4 = R2 หาแรงดันเอาต์พุต Vout

V1 = 1.9 VV2 = 1.1 VR1 = R3 = 4.7 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
Vout = V
12.วงจรออปแอมป์ยาก
Vin​V1​Vout​ภาคที่ 1: กลับเฟสR1​ = 1 kΩRf1​ = 1 kΩภาคที่ 2: ไม่กลับเฟสR2​ = 10 kΩRf2​ = 47 kΩ

ภาคออปแอมป์อุดมคติสองภาคต่อแบบคาสเคด: เครื่องขยายแบบกลับเฟส (R1, Rf1) ตามด้วยเครื่องขยายแบบไม่กลับเฟส (R2 ลงกราวด์ Rf2 ในวงป้อนกลับ) ทั้งสองใช้แหล่งจ่าย ±15 V จงหาอัตราขยายแรงดันรวม Av = Vout/Vin

R1 = 1 kΩRf1 = 1 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 47 kΩ
Av =
13.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​20 Vt = 0R = 33 ΩL22 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 90% ของค่าสุดท้าย หา t

Vs = 20 VR = 33 ΩL = 22 mH
t = ms
14.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​9 Vt = 0R = 2.2 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 100 ms

Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 22 µFvC(0) = 8 Vt = 100 ms
vC = V

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 12.29 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​10 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 5·30/(5+30) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 8 + 4.286 = 12.29 Ω

คำตอบ

Req = 12.29 Ω
2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.5807 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 30 + 5 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 14.58 Ω
R3 + 14.58 = 24.58 Ω
R2 ∥ 24.58 = 2.674 Ω
Req = R1 + 2.674 = 5 + 2.674 = 7.674 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 5/7.674 = 0.6516 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.6516·5 = 1.742 V
IR2 = VA/R2 = 1.742/3 = 0.5807 A

คำตอบ

IR2 = 0.5807 A
3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: I3 = −0.45 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

KCL ที่โนด A

ให้สายล่างเป็นกราวด์ แต่ละกิ่งนำกระแส (VA − Vk)/Rk ออกจาก A โดย Vk คือแรงดันของแหล่งกำเนิดของกิ่งนั้น (เป็นศูนย์สำหรับตัวต้านทานธรรมดา) กระแสที่ไหลออกจาก A รวมกันเป็นศูนย์

(VA − 10)/5 + (VA − 12)/12 + VA/20 = 0

แก้หา VA

VA = (10/5 + 12/12 + 0/20) / (1/5 + 1/12 + 1/20) = 3/0.3333 = 9 V

กระแสสาขา

ลูกศรชี้ขึ้นผ่านกิ่งเข้าสู่โนด A

I3 = (0 − VA)/R3 = (0 − 9)/20 = −0.45 A

คำตอบ

I3 = −0.45 A

ผลลัพธ์เป็นลบหมายความว่ากระแสจริงไหลสวนทางกับลูกศร

4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: VA = 7.217 V

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

สร้างซูเปอร์โนด

แหล่งกำเนิดแรงดันระหว่าง A กับ B นำกระแสที่ไม่ทราบค่า จึงเขียน KCL ที่ A หรือ B แยกกันไม่ได้ ให้ล้อม A, B และแหล่งกำเนิดไว้ในซูเปอร์โนดเดียว: กระแสที่เข้าเท่ากับกระแสที่ออก

VB = VA − 10
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

แก้สมการ

(VA − 9)/15 + VA/4 + (VA − 10)/15 = 1.5
VA·(1/15 + 1/4 + 1/15) = 1.5 + 9/15 + 10/15 = 2.767
VA = 2.767/0.3833 = 7.217 V
VB = −2.783 V

คำตอบ

VA = 7.217 V
5.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I2 = −0.8 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 6 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​24 VR3​3 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
6·I1 + 3(I1 − I2) = 24
9·I1 − 3·I2 = 24

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 3(I2 − I1) = (−12)
−3·I1 + 6·I2 = −12

แก้สมการ

Δ = (9)(6) − (−3)(−3) = 45
I1 = Δ1/Δ = 108/45 = 2.4 A
I2 = Δ2/Δ = −36/45 = −0.8 A

คำตอบ

I2 = −0.8 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

6.การวิเคราะห์เมช

คำตอบ: I1 = 1.109 A

การวิเคราะห์เมช: กำหนดกระแสลูปให้แต่ละช่องของวงจรระนาบ เขียนกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์รอบแต่ละลูป (ผลรวมแรงดันตก = ผลรวมแรงดันยก) แล้วแก้สมการ กระแสสาขาคือกระแสเมช หรือผลต่างของกระแสเมชสองตัวในสาขาที่ใช้ร่วมกัน

R1​ = 4 ΩR2​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR4​10 ΩAR5​3 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

กำหนดกระแสเมช

วาดกระแสตามเข็มนาฬิกาในแต่ละช่อง: I1, I2, I3 ตัวต้านทานที่ใช้ร่วมกันสองเมชมีกระแสเท่ากับผลต่างของกระแสทั้งสอง

KVL รอบเมช 1

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
4·I1 + 10(I1 − I2) = 9
14·I1 − 10·I2 = 9

KVL รอบเมช 2

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
2·I2 + 10(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−10·I1 + 15·I2 − 3·I3 = 0

KVL รอบเมช 3

เมื่อไปตามเข็มนาฬิกา แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแรงดันที่แหล่งจ่ายยกขึ้น (จาก − ไป + ตามทิศการเดิน)

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 3(I3 − I2) = (−5)
−3·I2 + 7·I3 = −5

แก้สมการ

Δ = ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ = 644
I1 = Δ1/Δ = 714/644 = 1.109 A
I2 = Δ2/Δ = 420/644 = 0.6522 A
I3 = Δ3/Δ = −280/644 = −0.4348 A

คำตอบ

I1 = 1.109 A

กระแสเมชที่เป็นลบไหลทวนเข็มนาฬิกา

7.การซ้อนทับ

คำตอบ: VR2 = −8.462 V

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBเปิดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₃ และ R₄ จึงเป็นสาขาอนุกรมเดียวจาก A ไปยังกราวด์ ขนานกับ R₂

R3+R4 = 3+2 = 5 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
VA = 10·3.75/(6+3.75) = 3.846 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 3.846·2/5 = 1.538 V
VR2′ = 0 − VA = 0 − 3.846 = −3.846 V
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩลัดวงจรR2​15 ΩAR4​2 ΩBIs​5 A

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจร ดังนั้น R₁ ขนานกับ R₂ กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ กับเส้นทางที่ผ่าน R₃

R1 ∥ R2 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 2 ∥ 7.286 = 1.569 Ω
VB = Is·Req = 5·1.569 = 7.846 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 7.846·4.286/7.286 = 4.615 V
VR2″ = 0 − VA = 0 − 4.615 = −4.615 V

รวมผลที่ได้

VR2 = VR2′ + VR2″
VR2 = (−3.846) + (−4.615) = −8.462 V

ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าในความเป็นจริงขั้วตรงข้ามกับที่ระบุไว้

8.การซ้อนทับ

คำตอบ: PR3 = 5.147 W

การซ้อนทับ: ในวงจรเชิงเส้น แรงดันหรือกระแสใด ๆ เท่ากับผลรวมของการตอบสนองต่อแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัวที่ทำงานเพียงลำพัง การปิดแหล่งจ่ายทำได้โดยแทนแหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งจ่ายกระแสอุดมคติด้วยวงจรเปิด ตัวต้านทานคงอยู่ที่เดิม

R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​9 VR3​4 ΩAเปิดวงจรBลัดวงจร

กรณี 1 · V1 ทำงานเพียงลำพัง

V₂ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด เมื่อมองจาก A ตัว R₃ ขนานกับคู่อนุกรม R₂+R₄

R3 ∥ (R2+R4) = 4 ∥ 27 = 3.484 Ω
VA = 9·3.484/(3+3.484) = 4.836 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4.836·25/27 = 4.478 V
IR3′ = (VA − 0)/R3 = (4.836 − 0)/4 = 1.209 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 ΩลัดวงจรR3​4 ΩAIs​1 ABลัดวงจร

กรณี 2 · Is ทำงานเพียงลำพัง

แหล่งจ่ายแรงดันทั้งสองกลายเป็นลัดวงจร กระแส Iₛ แยกที่ B ระหว่าง R₄ (ซึ่งตอนนี้ต่อลงกราวด์) กับ R₂ ที่ต่ออนุกรมกับ R₁ ∥ R₃

R1 ∥ R3 = 1.714 Ω ดังนั้นเส้นทางด้านซ้ายคือ R2+1.714 = 3.714 Ω
Req = R4 ∥ 3.714 = 3.234 Ω
VB = Is·Req = 1·3.234 = 3.234 V
VA = VB·1.714/3.714 = 1.493 V
IR3″ = (VA − 0)/R3 = (1.493 − 0)/4 = 0.3731 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 ΩลัดวงจรR3​4 ΩAเปิดวงจรB−+V2​30 V

กรณี 3 · V2 ทำงานเพียงลำพัง

V₁ กลายเป็นลัดวงจรและ Iₛ กลายเป็นวงจรเปิด R₁ ∥ R₃ ห้อยลงจาก A ต่ออนุกรมกับ R₂ กลับไปที่ B

R1 ∥ R3 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−30)·3.714/28.71 = −3.881 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −3.881·1.714/3.714 = −1.791 V
IR3‴ = (VA − 0)/R3 = (−1.791 − 0)/4 = −0.4478 A

บวกส่วนของกระแส

IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴ = 1.209 + 0.3731 + (−0.4478) = 1.134 A

กำลังในตัวต้านทาน

กำลังขึ้นกับกำลังสองของกระแส จึงไม่เป็นไปตามหลักการซ้อนทับ: ให้บวกกระแสก่อน แล้วจึงยกกำลังสอง

PR3 = IR3²·R3 = 1.134²·4 = 5.147 W

คำตอบ

PR3 = 5.147 W

การบวกกำลังของแต่ละกรณีแยกกันจะได้ 7.205 W ซึ่งผิด

9.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = 0.4444 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 ΩลัดวงจรR2​20 ΩAabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 12 = 22 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·20/(20+20) = 12 V
Rth​ = 22 Ω+−Vth​12 VRL​5 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = 12/(22 + 5) = 0.4444 A
10.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: IL = −1.64 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน Vth หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน Rth ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส IN = Vth/Rth ต่อขนานกับ Rth

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩลัดวงจรR2​20 ΩAเปิดวงจรBabRth​

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.714 + 10 = 15.71 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.286 + (−4)·5.714 = −18.57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −18.57 + (−4)·10 = −58.57 V
Rth​ = 15.71 Ω−+Vth​58.57 VRL​20 ΩIL​

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

IL = Vth/(Rth + RL) = −58.57/(15.71 + 20) = −1.64 A
11.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Vout = −3.745 V

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

แรงดันที่ขาเข้า

R₃ และ R₄ นำกระแสเดียวกัน จึงเป็นวงจรแบ่งแรงดัน การป้อนกลับทำให้ V₋ = V₊

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.1·22/(4.7 + 22) = 0.9064 V
V₋ = V₊

KCL ที่ขาเข้าแบบกลับเฟส

(1.9 − 0.9064)/4.7 = (0.9064 − Vout)/22
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (22/4.7)·(1.1 − 1.9) = −3.745 V

คำตอบ

Vout = −3.745 V
12.วงจรออปแอมป์

คำตอบ: Av = −5.7

กฎของออปแอมป์อุดมคติ: เมื่อมีป้อนกลับลบ ออปแอมป์จะขับเอาต์พุตให้อินพุตทั้งสองมีแรงดันเท่ากัน (V₋ = V₊) และไม่มีกระแสไหลเข้าอินพุตใดเลย เขียน KCL ที่อินพุตกลับเฟสโดยใช้สองข้อนี้ก็จะได้เอาต์พุต

อัตราขยายของแต่ละภาค

A1 = −Rf1/R1 = −1/1 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 47/10 = 5.7

อัตราขยายรวม

Av = A1·A2 = −1·5.7 = −5.7

คำตอบ

Av = −5.7
13.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 1.535 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 20/33 = 0.6061 A

แก้สมการหาเวลา

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −0.6667·ln(0.1) = 1.535 ms

คำตอบ

t = 1.535 ms
14.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 8.873 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 22 µF = 48.4 ms
vC(t) = 9 + (8 − 9)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(100) = 9 + (−1)·e−100/48.4 = 8.873 V

คำตอบ

vC = 8.873 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1