พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต0−12806403201608040201

ตั้งบิตให้เก็บ −91 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −918 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
24 บิต แบบไม่มีเครื่องหมาย, N = ?????????????????????????

จำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมายที่มากที่สุด N ที่ใส่ได้ใน 24 บิตคือเท่าใด

24 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
r ∨ (q ∧ p)(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)(r ∧ q) ∨ p(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ r ∧ (q ∨ p) ให้คลิกสูตรนั้น

r ∧ (q ∨ p)
  1. 1r ∨ (q ∧ p)
  2. 2(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)
  3. 3(r ∧ q) ∨ p
  4. 4(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
bcc → bbc11100100

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน c → b; b และบทสรุป c ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

c → bb∴ c
  1. 1b = 1, c = 1
  2. 2b = 1, c = 0
  3. 3b = 0, c = 1
  4. 4b = 0, c = 0
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD000111100001111000111302141517161120130151141809111010

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14) มีลิเทอรัลรวมกี่ตัว L (ตัวแปรที่มีไพรม์นับเป็นหนึ่งลิเทอรัล)

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14)
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
CLKT1234567

ฟลิปฟล็อป T ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดง ให้คลิกขอบสัญญาณนาฬิกาแรกที่ Q เปลี่ยนจาก 1 กลับเป็น 0

Q₀ = 0T
  1. 1ขอบสัญญาณนาฬิกา 1
  2. 2ขอบสัญญาณนาฬิกา 2
  3. 3ขอบสัญญาณนาฬิกา 3
  4. 4ขอบสัญญาณนาฬิกา 4
  5. 5ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
  6. 6ขอบสัญญาณนาฬิกา 6
  7. 7ขอบสัญญาณนาฬิกา 7
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 2 (mod 8) และ x ≡ 5 (mod 13)

x ≡ 2 (mod 8)x ≡ 5 (mod 13)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
mc = me​ mod n76m = cd​ mod n?(n, e) = (91, 23)d

กุญแจ RSA ใช้ p = 7, q = 13 และ e = 23 จงถอดรหัสข้อความเข้ารหัส c = 76: หาข้อความ m

p = 7q = 13e = 23c = 76
m =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(n) มีผลเฉลยเป็น

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร

  1. Aตัดสินไม่ได้
  2. Bแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
  3. Cแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
  4. Dอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

extract-min ใน min-heap ทวิภาคทำงานอย่างไร

  1. Aค้นหาใบทั้งหมดเพื่อหาค่าต่ำสุดใหม่
  2. Bลบรากและเลื่อนสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง
  3. Cย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
  4. Dลบสมาชิกสุดท้ายของอาร์เรย์
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

วัตถุถูกเก็บเป็นคีย์ใน hash map จากนั้นฟิลด์ที่ฟังก์ชันแฮชใช้ถูกเปลี่ยน ผลลัพธ์ที่น่าจะเกิดคืออะไร

  1. Amap โยนข้อผิดพลาดทันทีที่ฟิลด์เปลี่ยน
  2. Bไม่มีอะไรเปลี่ยน เพราะแฮชของคีย์คำนวณเพียงครั้งเดียวตอนโปรแกรมเริ่มทำงาน
  3. Cmap ย้ายคีย์ไปถังใหม่โดยอัตโนมัติ
  4. Dการค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
210139121541165ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 10
W =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ตัว "A" ใน ACID ย่อมาจากอะไร?

  1. AAggregation
  2. BAtomicity
  3. CAvailability
  4. DAccuracy
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ฟังก์ชันหน้าต่างใดกำหนดเลข 1, 2, 3, ... ให้แถวภายในแต่ละพาร์ทิชันโดยไม่มีอันดับเสมอ?

  1. AROW_NUMBER()
  2. BRANK()
  3. CCOUNT()
  4. DDENSE_RANK()
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ARP ทำหน้าที่อะไร?

  1. Aแปลงชื่อโดเมน
  2. Bกำหนดที่อยู่ IP ให้โฮสต์โดยอัตโนมัติเมื่อเข้าร่วมเครือข่ายท้องถิ่น
  3. Cกำหนดเส้นทางแพ็กเก็ตบนอินเทอร์เน็ต
  4. Dหาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

พีซีเครื่องหนึ่งเข้าถึงเครื่องพิมพ์ในซับเน็ตของตนได้แต่เข้าถึงสิ่งอื่นนอกซับเน็ตไม่ได้ ที่อยู่ IP และมาสก์ถูกต้อง ความบกพร่องใดมีแนวโน้มมากที่สุด?

  1. Aเกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง
  2. Bที่อยู่ MAC ซ้ำกันบนอินเทอร์เน็ต
  3. Cการตั้งค่าเซิร์ฟเวอร์ DNS ผิดพลาด
  4. Dหน้าต่าง TCP เล็กเกินไป
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2911111111111111111111111111111000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.104.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /29 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของบรอดคาสต์แอดเดรสของซับเน็ต 9 คือเท่าใด

192.168.104.0/24/29ซับเน็ต 9 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)
x =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออกเท็ตที่สาม 209 … 214112816403211608040211ร่วมกันเปลี่ยนแปลง

เราเตอร์มีเส้นทางไปยังเครือข่ายเหล่านี้: 10.134.209.0/24, 10.134.210.0/24, 10.134.211.0/24, 10.134.212.0/24, 10.134.213.0/24, 10.134.214.0/24 ความยาวพรีฟิกซ์ยาวที่สุด p ของเส้นทางสรุปเส้นเดียวที่ครอบคลุมทั้งหมดคือเท่าใด

10.134.209.0/24 … 10.134.214.0/24
p =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 165

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

91 = 0101 1011
ที่กลับบิตแล้ว: 1010 0100
+1 → 1010 0101

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1010 0101₂ = 256 − 91 = 165

คำตอบ

U = 165
2.ระบบเลข

คำตอบ: N = 1.678 × 10⁷

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่มากที่สุด

224 − 1 = 16777215

คำตอบ

N = 16777215
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: (r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

∧ แจกแจงเหนือ ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
r ∧ (q ∨ p) ≡ (r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 1 0 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 1 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 1
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

คำตอบ

(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: b = 1, c = 0

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

b = 1, c = 1: 1 1 | 1
b = 1, c = 0: 1 1 | 0
b = 0, c = 1: 0 0 | 1
b = 0, c = 0: 1 0 | 0

ตัวอย่างค้าน

b = 1, c = 0

คำตอบ

b = 1, c = 0

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 10

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ABCD000111100001111000111302141517161120130151141809111010

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

BD′
B′CD
A′D
AC′D′

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = BD′ + B′CD + A′D + AC′D′
L = 10

คำตอบ

L = 10
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: ขอบสัญญาณนาฬิกา 5

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป T สลับค่าทุกขอบขาขึ้นเมื่อ T = 1 และคงค่าเมื่อ T = 0

1: T = 1 → Q = 1
2: T = 0 → Q = 1
3: T = 0 → Q = 1
4: T = 0 → Q = 1
5: T = 1 → Q = 0
6: T = 0 → Q = 0
7: T = 0 → Q = 0

การเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 ครั้งแรก

ขอบสัญญาณนาฬิกา 5

คำตอบ

ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 18

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ความสอดคล้องข้อแรก

x = 2 + 8k

ความสอดคล้องข้อที่สอง

2 + 8k ≡ 5 (mod 13) → 8k ≡ 3 (mod 13)
k ≡ 5·3 ≡ 2 (mod 13)

ผลลัพธ์

x = 2 + 8·2 = 18
x = 18
ตรวจสอบ: 18 mod 8 = 2, 18 mod 13 = 5

คำตอบ

x = 18
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: m = 6

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังส่วนตัว

n = 91, φ(n) = 72
d = 23−1 mod 72 = 47

ถอดรหัสด้วยการยกกำลังสองซ้ำ

47 = 32 + 8 + 4 + 2 + 1
761 ≡ 76 (mod 91)
762 ≡ 43 (mod 91)
764 ≡ 29 (mod 91)
768 ≡ 22 (mod 91)
7616 ≡ 29 (mod 91)
7632 ≡ 22 (mod 91)
7647 ≡ 76·43·29·22·22 ≡ 6 (mod 91)

ข้อความ

m = 6
ตรวจสอบ: 623 mod 91 = 76

คำตอบ

m = 6
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก (a = 2, b = 2, f(n) = n) ได้ T(n) = Θ(n log n)

คำตอบ

A · O(n log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน

คำตอบ

B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกสุดท้ายเติมช่องว่างที่ราก และสลับกับลูกที่เล็กกว่าจนคุณสมบัติฮีปเป็นจริง ใช้ O(log n)

คำตอบ

C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตำแหน่งของคีย์เลือกจากแฮชเก่า เมื่อแฮชใหม่ การค้นหาจะดูผิดถัง คีย์จึงควรเปลี่ยนแปลงไม่ได้ (immutable)

คำตอบ

D · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 23

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 51 = 2(L + 15) − 2
L = 23

คำตอบ

L = 23

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 42

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

AB (2): เลือก
GB (4): เลือก
GE (5): เลือก
GD (6): เลือก
BD (9): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AC (10): เลือก
GC (11): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DE (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BC (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
EF (15): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42

คำตอบ

W = 42
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: B · Atomicity

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ACID คือ atomicity, consistency, isolation, durability โดย atomicity หมายความว่าทรานแซกชันถูกนำไปใช้ทั้งหมดหรือไม่ใช้เลย

คำตอบ

B · Atomicity
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · ROW_NUMBER()

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ROW_NUMBER ให้เลขลำดับที่ไม่ซ้ำ ส่วน RANK เว้นช่วงหลังอันดับเสมอ และ DENSE_RANK ไม่เว้น

คำตอบ

A · ROW_NUMBER()
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ARP broadcast ถามว่า "ใครมี IP นี้?" และเจ้าของตอบด้วยที่อยู่ MAC ของตน เพื่อให้ส่งเฟรมในเครือข่ายท้องถิ่นได้

คำตอบ

D · หาที่อยู่ MAC ที่เป็นของที่อยู่ IP หนึ่งในเครือข่ายท้องถิ่น
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: A · เกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โฮสต์ส่งแพ็กเก็ตนอกซับเน็ตไปยังเกตเวย์เริ่มต้น หากผิดหรือไม่มี ทราฟฟิกท้องถิ่นยังใช้ได้แต่เข้าถึงสิ่งใดภายนอกไม่ได้ แม้ใช้ที่อยู่ IP

คำตอบ

A · เกตเวย์เริ่มต้นหายไปหรือไม่ถูกต้อง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 71

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อก

23 = 8

ซับเน็ตหมายเลข 9

เครือข่าย: (9 − 1)·8 = 64
บรอดคาสต์: 64 + 8 − 1 = 71

คำตอบ

x = 71
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 21

การสรุปเส้นทาง: เส้นทางสรุป a.b.c.0/p ครอบคลุมทุกเครือข่ายที่ p บิตแรกตรงกัน เขียนออกเท็ตที่ต่างกันของเครือข่ายแรกและสุดท้ายเป็นเลขฐานสอง จำนวนบิตนำหน้าที่ตรงกัน บวกบิตของออกเท็ตก่อนหน้า คือพรีฟิกซ์สรุปที่ยาวที่สุด

เทียบบิต

209 = 11010001
214 = 11010110
บิตนำหน้าที่ตรงกัน: 5

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 16 + 5 = 21

คำตอบ

p = /21

เส้นทางสรุป: 10.134.208.0/21 (ครอบคลุมเครือข่าย 2 เครือข่ายที่ไม่อยู่ในรายการด้วย)

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals