พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
ค่าประจำตำแหน่งใน two's complement1−12816413211608040211

รูปแบบ 8 บิต 1111 0001 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1111 00018 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
คลิกบิตเพื่อตั้งค่า012806403201608040201

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1110 1101 >> 2 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

1110 1101>> 2
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
c ∨ ¬b¬c ∨ b¬c → ¬b¬c ∧ b

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ c → b ให้คลิกสูตรนั้น

c → b
  1. 1c ∨ ¬b
  2. 2¬c ∨ b
  3. 3¬c → ¬b
  4. 4¬c ∧ b
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
∀x (¬P(x) → ¬Q(x))∀x (P(x) → ¬Q(x))∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∃x (P(x) → Q(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∃x (P(x) → Q(x))
  1. 1∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
  2. 2∀x (P(x) → ¬Q(x))
  3. 3∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
  4. 4∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD000111100001111010110312040507161120131150141809011010

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 8, 12, 15) มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 8, 12, 15)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD0001111000011110101113X20415X7160120130151141809111110

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 14) + d(2, 7) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 14) + d(2, 7)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 83x ≡ 80 (mod 97) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 97

83x ≡ 80 (mod 97)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (115, 7)d = ?

กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 5 และ q = 23 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 7 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))

p = 5q = 23e = 7
d =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for j = 1 to i: ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

  1. A2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
  2. Bn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง
  3. Cn = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
  4. Dn² = o(n)
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คุณมีการอ้างอิงถึงโหนดกลางลิสต์ ในลิสต์ชนิดใดลบมันได้ใน O(1)

  1. Aลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
  2. Bอาร์เรย์พลวัต
  3. Cอาร์เรย์เรียงลำดับ
  4. Dลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยว
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

  1. Amax-heap เรียงตาม out-degree
  2. Bสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
  3. Cคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
  4. Dเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 19 จุดยอดและ 28 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 19|E| = 28
k =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
101512583258ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

EXCEPT (เรียก MINUS ใน Oracle) คืนอะไร?

  1. Aแถวของคิวรีที่สองที่ไม่ปรากฏในคิวรีแรก
  2. Bแถวที่ปรากฏในทั้งสองคิวรี
  3. Cแถวของคิวรีแรกที่ไม่ปรากฏในคิวรีที่สอง
  4. Dทุกแถวจากทั้งสองคิวรีโดยไม่ซ้ำ
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง employee(emp_id, dept_id, dept_name) มีคีย์ emp_id และ dept_id → dept_name ข้อใดถูกต้อง?

  1. Aไม่อยู่ใน 2NF
  2. Bอยู่ใน BCNF จึงอยู่ใน 3NF ด้วย
  3. Cอยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF
  4. Dไม่อยู่ใน 1NF
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เหตุใด UDP จึงมักเป็นที่นิยมสำหรับวิดีโอคอลสด?

  1. Aวิดีโอทุกชนิดต้องใช้ UDP
  2. BUDP รับประกันว่าทุกแพ็กเก็ตมาถึง ภาพจึงไม่ค้างเลย
  3. Cความหน่วงต่ำสำคัญกว่าการส่งแพ็กเก็ตที่สูญหายซ้ำทุกแพ็กเก็ต
  4. DUDP เข้ารหัสข้อมูลโดยอัตโนมัติ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

การค้นหา DNS โดยปกติใช้ UDP เมื่อใดที่ DNS มักใช้ TCP แทน?

  1. Aสำหรับทุกการค้นหาที่ส่งจากเว็บเบราว์เซอร์
  2. Bเฉพาะการค้นหาย้อนกลับของที่อยู่ IP
  3. Cเฉพาะเมื่อชื่อโดเมนยาวกว่าสิบตัวอักษร
  4. Dสำหรับการตอบกลับที่ใหญ่เกินกว่า UDP และสำหรับการถ่ายโอนโซน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/?11111111111111111111111111000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 55 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

55 hosts
p =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออคเต็ตสุดท้าย = 76012816403201618140201เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.224.76/27 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด

10.20.224.76/27
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −15

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 64 + 32 + 16 + 1 = −15

คำตอบ

N = −15
2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 59

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

การเลื่อนขวา 2 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 2 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย

1110 1101 >> 2
= 0011 1011

ค่าของผลลัพธ์

0011 1011₂ = 59

คำตอบ

R = 59
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬c ∨ b

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 ดังนั้นจึงเท่ากับ ¬a ∨ b
c → b ≡ ¬c ∨ b

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 0
b = 1, c = 0: 1 | 0 1 0 1
b = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 0
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0

คำตอบ

¬c ∨ b

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

คำตอบ

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ABCD000111100001111010110312040507161120131150141809011010

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

A′CD′
AC′D′
A′B′C′
ABCD

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = A′CD′ + AC′D′ + A′B′C′ + ABCD
N = 4

คำตอบ

N = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 8

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

CD′, B′D′, B′C, A′D, A′C, A′B′
ABCD0001111000011110101113X20415X7160120130151141809111110

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = CD′ + B′D′ + B′C + A′D
L = 8

คำตอบ

L = 8
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 22

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 83

r = 97, t = 0
r = 83, q = 1, t = 1
r = 14, q = 5, t = −1
r = 13, q = 1, t = 6
r = 1, q = 13, t = −7
83−1 ≡ 90 (mod 97)

แก้สมการ

x ≡ 90·80 = 7200 ≡ 22 (mod 97)
ตรวจสอบ: 83·22 = 1826 ≡ 80 (mod 97)

คำตอบ

x = 22
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: d = 63

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

มอดูลัสและโทเทียนต์

n = 5·23 = 115
φ(n) = 4·22 = 88

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

r = 88, t = 0
r = 7, q = 12, t = 1
r = 4, q = 1, t = −12
r = 3, q = 1, t = 13
r = 1, q = 3, t = −25

เลขชี้กำลังส่วนตัว

d = 63
ตรวจสอบ: 7·63 = 441 = 5·88 + 1

คำตอบ

d = 63
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื้อหาของลูปชั้นในทำงานรวม n(n + 1) / 2 ครั้ง ซึ่งยังเป็นกำลังสอง

คำตอบ

D · O(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดแบบสองทิศทางรู้โหนดก่อนหน้าของตน จึงเชื่อมใหม่ระหว่าง prev และ next ได้โดยตรง ลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวต้องค้นหาโหนดก่อนหน้า

คำตอบ

A · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดที่พร้อมถูกเก็บในคิว การลบหนึ่งจุดลด in-degree ของข้างเคียง และตัวที่ถึง 0 ถูกเพิ่ม ได้เวลา O(V + E)

คำตอบ

C · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

19 − 1 = 18

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 28 − 18 = 10

คำตอบ

k = 10
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 10, C: 15
2. B (10): G: 12
3. G (12): E: 20
4. C (15)
5. E (20): F: 23
6. F (23): D: 31
7. D (31)

รอบ 5

E

คำตอบ

E
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: C · แถวของคิวรีแรกที่ไม่ปรากฏในคิวรีที่สอง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

A EXCEPT B ให้แถวใน A ที่ไม่อยู่ใน B การสลับคิวรีจึงให้ผลต่างกัน

คำตอบ

C · แถวของคิวรีแรกที่ไม่ปรากฏในคิวรีที่สอง
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: C · อยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์มีหนึ่งคอลัมน์ 2NF จึงเป็นจริง แต่ emp_id → dept_id → dept_name เป็นการพึ่งพาแบบถ่ายทอด ซึ่งละเมิด 3NF

คำตอบ

C · อยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · ความหน่วงต่ำสำคัญกว่าการส่งแพ็กเก็ตที่สูญหายซ้ำทุกแพ็กเก็ต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การส่งแพ็กเก็ตที่สูญหายซ้ำจะเพิ่มความล่าช้า สื่อเรียลไทม์ทนการสูญหายบางส่วนได้ จึงใช้โพรโทคอลบน UDP เช่น RTP

คำตอบ

C · ความหน่วงต่ำสำคัญกว่าการส่งแพ็กเก็ตที่สูญหายซ้ำทุกแพ็กเก็ต
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · สำหรับการตอบกลับที่ใหญ่เกินกว่า UDP และสำหรับการถ่ายโอนโซน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากการตอบกลับ UDP ถูกตัดทอน รีโซลเวอร์ลองใหม่ผ่าน TCP การถ่ายโอนโซนระหว่างเนมเซิร์ฟเวอร์ก็ใช้ TCP เพราะมีข้อมูลมาก

คำตอบ

D · สำหรับการตอบกลับที่ใหญ่เกินกว่า UDP และสำหรับการถ่ายโอนโซน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 26

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

25 − 2 = 30 < 55
26 − 2 = 62 ≥ 55 → h = 6

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 6 = 26

คำตอบ

p = /26
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 95

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

25 = 32

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊76/32⌋·32 = 64
บรอดคาสต์: 64 + 32 − 1 = 95
โฮสต์ที่ใช้ได้: 65 … 94

คำตอบ

x = 95

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals