พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต0−12806403201608040201

ตั้งบิตให้เก็บ −37 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −378 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
12 บิต two's complement, N = ??เครื่องหมาย???????????

จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 12 บิตคือเท่าใด

12 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
pqr¬(r → ¬p)¬(r → ¬p) → q(¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q)111?110?101?100?011?010?001?000?

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ (¬(p → ¬s) ∧ ¬r) ∨ ((q → p) ∨ r) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(¬(p → ¬s) ∧ ¬r) ∨ ((q → p) ∨ r)
N =
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABC000111100101324576

จงทำ F = A′B′ + ABC + ABC′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L

F = A′B′ + ABC + ABC′
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
CLKJK1234567

ฟลิปฟล็อป JK ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดง ให้คลิกขอบสัญญาณนาฬิกาแรกที่ Q เปลี่ยนจาก 1 กลับเป็น 0

Q₀ = 0JK
  1. 1ขอบสัญญาณนาฬิกา 1
  2. 2ขอบสัญญาณนาฬิกา 2
  3. 3ขอบสัญญาณนาฬิกา 3
  4. 4ขอบสัญญาณนาฬิกา 4
  5. 5ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
  6. 6ขอบสัญญาณนาฬิกา 6
  7. 7ขอบสัญญาณนาฬิกา 7
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 27x ≡ 25 (mod 29) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 29

27x ≡ 25 (mod 29)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

19 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 2962872 mod 19

p = 19k = 62872
2962872 mod 19 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + n log n มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคมีราก 1 ลูกซ้าย 2 ลูกขวา 3 โหนด 2 มีลูก 4 (ซ้าย) และ 5 (ขวา) การท่องแบบ postorder คืออะไร

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D5 4 3 2 1
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

สำหรับแต่ละสมาชิกของอาร์เรย์ คุณต้องการสมาชิกที่ใหญ่กว่าถัดไปทางขวา ในเวลารวม O(n) โครงสร้างใดช่วยได้

  1. Aคิวที่เก็บทุกคู่ของสมาชิก
  2. Bbinary search tree ที่สร้างใหม่สำหรับแต่ละสมาชิก
  3. Cสแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
  4. Dตารางแฮชของสมาชิกทั้งหมด
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 14 จุดยอดและ 21 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 14|E| = 21
k =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
913161431916ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด C ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4

เริ่มต้น: Ck = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม BC
  3. 3เส้นเชื่อม BD
  4. 4เส้นเชื่อม CE
  5. 5เส้นเชื่อม DE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

dirty read คืออะไร?

  1. Aการอ่านข้อมูลที่ทรานแซกชันอื่นเขียนไว้แต่ยังไม่ commit
  2. Bการอ่านแถวเดิมสองครั้งแล้วได้ค่าเดิม
  3. Cการอ่านข้อมูลจากดิสก์ที่เสียหาย
  4. Dการอ่านข้อมูลโดยไม่มี WHERE
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ทรานแซกชัน T1 ล็อกแถว A และรอแถว B ขณะที่ T2 ล็อกแถว B และรอแถว A DBMS ทั่วไปทำอย่างไร?

  1. Acommit ทั้งสองทรานแซกชันพร้อมกัน
  2. Bตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ
  3. Cปล่อยให้ทั้งสองทรานแซกชันรอจนกว่าหนึ่งในนั้นจะคอมมิตตามปกติ
  4. Dรวมสองทรานแซกชันเป็นหนึ่ง
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

จุดประสงค์ของการแฮนด์เชก (handshake) สามทางของ TCP คืออะไร?

  1. Aเพื่อปิดการเชื่อมต่ออย่างรวดเร็ว
  2. Bเพื่อหาที่อยู่ IP ของโฮสต์ก่อนที่จะส่งข้อมูลไปถึงโฮสต์นั้นได้
  3. Cเพื่อเข้ารหัสข้อมูล
  4. Dเพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

หลังเกิดการชนซ้ำ ๆ สถานีอีเทอร์เน็ตแบบดั้งเดิมเลือกเวลารอจากช่วงที่เพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้ง เพราะเหตุใด?

  1. Aเพื่อให้สายเคเบิลส่งสัญญาณไปได้ไกลขึ้น
  2. Bเพื่อให้สถานีที่มีที่อยู่ MAC สูงสุดมีลำดับความสำคัญบนสายที่ใช้ร่วมกัน
  3. Cเพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน
  4. Dเพื่อซิงโครไนซ์ทุกสถานีกับนาฬิกาเดียว
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2611111111111111111111111111000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 4 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/244 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เครือข่าย 192.168.51.0/24 ถูกแบ่งด้วย VLSM สำหรับ LAN เหล่านี้: A: 50 โฮสต์, B: 18 โฮสต์, C: 8 โฮสต์, D: 58 โฮสต์ ซับเน็ตถูกจัดสรรจาก .0 ขึ้นไป โดย LAN ที่มีโฮสต์มากที่สุดมาก่อน แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่พอดี ออกเท็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายของ LAN C คือเท่าใด

A: 50B: 18C: 8D: 58
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 219

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

37 = 0010 0101
ที่กลับบิตแล้ว: 1101 1010
+1 → 1101 1011

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1101 1011₂ = 256 − 37 = 219

คำตอบ

U = 219
2.ระบบเลข

คำตอบ: N = −2048

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่ติดลบมากที่สุด

−211 = −2048

คำตอบ

N = −2048
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 7

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 0, ¬(r → ¬p) = 1, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 0, ¬(r → ¬p) = 1, ¬(r → ¬p) → q = 0, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: ¬p = 1, ¬p ∧ r = 1, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: ¬p = 1, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: ¬p = 1, ¬p ∧ r = 1, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: ¬p = 1, ¬p ∧ r = 0, r → ¬p = 1, ¬(r → ¬p) = 0, ¬(r → ¬p) → q = 1, (¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q) = 1

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(¬p ∧ r) ∨ (¬(r → ¬p) → q): 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1
N = 7

คำตอบ

N = 7
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 14

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬s; p → ¬s; ¬(p → ¬s); ¬r; ¬(p → ¬s) ∧ ¬r; q → p; (q → p) ∨ r; (¬(p → ¬s) ∧ ¬r) ∨ ((q → p) ∨ r)

แยกตาม p

p = 1: 8
p = 0: 6
N = 8 + 6 = 14

คำตอบ

N = 14
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 4

พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง

มินเทอมของนิพจน์

A′B′ → m(0, 1)
ABC → m(7)
ABC′ → m(6)
ABC00011110011011030204051716

จัดกลุ่มและอ่านค่า

F = A′B′ + AB

นับลิเทอรัล

L = 4

คำตอบ

L = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: ขอบสัญญาณนาฬิกา 6

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป JK: 00 คงค่า, 01 รีเซ็ต (Q = 0), 10 เซต (Q = 1), 11 สลับค่า

1: J = 1, K = 1 → Q = 1
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 0 → Q = 1
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 1, K = 0 → Q = 1
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 0, K = 1 → Q = 0

การเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 ครั้งแรก

ขอบสัญญาณนาฬิกา 6

คำตอบ

ขอบสัญญาณนาฬิกา 6
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 2

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 27

r = 29, t = 0
r = 27, q = 1, t = 1
r = 2, q = 13, t = −1
r = 1, q = 2, t = 14
27−1 ≡ 14 (mod 29)

แก้สมการ

x ≡ 14·25 = 350 ≡ 2 (mod 29)
ตรวจสอบ: 27·2 = 54 ≡ 25 (mod 29)

คำตอบ

x = 2
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 2962872 mod 19 = 4

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

ลดเลขชี้กำลัง

62872 mod 18 = 16
2962872 ≡ 2916 (mod 19)

เลขยกกำลังขนาดเล็ก

2916 mod 19 = 4

คำตอบ

2962872 mod 19 = 4
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูปชั้นในทำงานประมาณ log₂ n ครั้งสำหรับแต่ละรอบของลูปชั้นนอก n รอบ ได้ O(n log n)

คำตอบ

B · O(n log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Θ(n log² n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับที่ k ทำงานประมาณ n log(n / 2ᵏ) และผลรวมตลอด log n ระดับได้ Θ(n log² n) ซึ่งเป็นกรณีที่สองแบบขยายของทฤษฎีบทหลัก

คำตอบ

A · Θ(n log² n)
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 4 5 2 3 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Postorder ประมวลผล 4 และ 5 ก่อน 2 แล้ว 3 และสุดท้ายราก 1

คำตอบ

C · 4 5 2 3 1
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สแกนจากซ้ายไปขวา pop ทุกสมาชิกบนสแตกที่เล็กกว่าตัวปัจจุบัน (ตัวปัจจุบันคือคำตอบของพวกมัน) แล้ว push ตัวปัจจุบัน แต่ละสมาชิกเคลื่อนไม่เกินสองครั้ง

คำตอบ

C · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

14 − 1 = 13

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 21 − 13 = 8

คำตอบ

k = 8
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. CE (6)
2. BC (13)
3. BD (1)
4. DF (3)
5. AB (9)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

DF

คำตอบ

เส้นเชื่อม DF
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · การอ่านข้อมูลที่ทรานแซกชันอื่นเขียนไว้แต่ยังไม่ commit

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

dirty read เห็นการเปลี่ยนแปลงที่ยังไม่ commit ซึ่งอาจถูกยกเลิก เกิดได้เฉพาะที่ระดับ read uncommitted

คำตอบ

A · การอ่านข้อมูลที่ทรานแซกชันอื่นเขียนไว้แต่ยังไม่ commit
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: B · ตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

วงจรในกราฟการรอ (wait-for graph) คือ deadlock DBMS rollback ทรานแซกชันหนึ่งเพื่อให้อีกอันดำเนินต่อได้ และผู้เสียสละอาจถูกลองใหม่

คำตอบ

B · ตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแฮนด์เชกสร้างการเชื่อมต่อและตกลงหมายเลขลำดับเริ่มต้นของทั้งสองฝ่ายก่อนส่งข้อมูล

คำตอบ

D · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · เพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การชนแต่ละครั้งที่เพิ่มขึ้นบ่งชี้ว่ามีการแย่งชิงมากขึ้น ช่วงสุ่มจึงขยาย และสถานีมีโอกาสเลือกช่องเวลาต่างกันมากขึ้น ปรับตามภาระได้โดยไม่ต้องมีการควบคุมส่วนกลาง

คำตอบ

C · เพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 62

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตที่ต้องยืม

22 = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

โฮสต์ต่อซับเน็ต

26 − 2 = 62

คำตอบ

H = 62
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 160

VLSM: แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่ 2ʰ − 2 ≥ จำนวนโฮสต์ของมัน คือพรีฟิกซ์ 32 − h การจัดสรรซับเน็ตที่ใหญ่ที่สุดก่อนทำให้ทุกบล็อกอยู่ในแนวพหุคูณของขนาดตัวเอง ที่อยู่เครือข่ายจึงได้จากการบวกขนาดบล็อก

ขนาดบล็อกของแต่ละ LAN

D: 58 โฮสต์ → 26 = 64 (/26)
A: 50 โฮสต์ → 26 = 64 (/26)
B: 18 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
C: 8 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)

การจัดสรร จากใหญ่ที่สุดก่อน

D: .0 – .63
A: .64 – .127
B: .128 – .159
C: .160 – .175

คำตอบ

x = 160

LAN C: 192.168.51.160/28

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals