พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต?−128?64?32?16?8?4?2?1

เขียน −21 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −218 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
คลิกบิตเพื่อตั้งค่า012806403201608040201

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1000 0010 >> 2 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

1000 0010>> 2
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
(r → q) → pr → (q → p)(r → p) ∧ (q → p)r ∧ (q → p)

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ (r ∧ q) → p ให้คลิกสูตรนั้น

(r ∧ q) → p
  1. 1(r → q) → p
  2. 2r → (q → p)
  3. 3(r → p) ∧ (q → p)
  4. 4r ∧ (q → p)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
acc ∧ a¬a

กำหนดสมมติฐาน c ∨ a; ¬c บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

c ∨ a¬c
  1. 1a
  2. 2c
  3. 3c ∧ a
  4. 4¬a
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD000111100001111000111312040507061120130150141819011010

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 8, 9, 12) มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 8, 9, 12)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
CLKD123456

ฟลิปฟล็อป D ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดง ให้คลิกขอบสัญญาณนาฬิกาแรกที่ Q เปลี่ยนจาก 1 กลับเป็น 0

Q₀ = 0D
  1. 1ขอบสัญญาณนาฬิกา 1
  2. 2ขอบสัญญาณนาฬิกา 2
  3. 3ขอบสัญญาณนาฬิกา 3
  4. 4ขอบสัญญาณนาฬิกา 4
  5. 5ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
  6. 6ขอบสัญญาณนาฬิกา 6
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 6 มอดูโล 17: จำนวน x ที่ 0 < x < 17 และ 6·x ≡ 1 (mod 17)

a = 6n = 17
6−1 mod 17 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 1530 mod 19

a = 15k = 30n = 19
1530 mod 19 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่

  1. Aถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
  2. Bถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
  3. Cไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
  4. Dไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Aไม่ใช่ทั้งสองแบบ
  2. Bทั้งสองแบบ
  3. C0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
  4. Dfractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

คู่การท่องใดกำหนดต้นไม้ทวิภาคที่มีคีย์ไม่ซ้ำได้เพียงแบบเดียวเสมอ

  1. Apreorder และ inorder
  2. Bpreorder และ postorder
  3. Clevel-order เพียงอย่างเดียว
  4. Dpreorder เพียงอย่างเดียว
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 3
L =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
323751312712ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

การพึ่งพาเชิงฟังก์ชัน A → B หมายความว่าอย่างไร?

  1. AA เป็นคีย์นอกที่อ้างอิง B
  2. Bแต่ละค่าของ B สัมพันธ์กับค่าของ A เพียงค่าเดียว
  3. CA และ B เป็นคีย์หลักทั้งคู่
  4. Dแต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ระดับการแยกส่วน (isolation level) ใดป้องกัน dirty read แต่ยังอนุญาต non-repeatable read?

  1. ASerializable
  2. BRead uncommitted
  3. CRead committed
  4. DRepeatable read
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ช่วงหมายเลขพอร์ต TCP/UDP ใดสงวนไว้เป็นพอร์ต "ที่รู้จักกันดี" (well-known)?

  1. A49152–65535
  2. B1024–49151
  3. C0–1023
  4. D0–65535
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ผู้ใช้ ping 8.8.8.8 ได้แต่เปิดเว็บไซต์ใดด้วยชื่อไม่ได้ ปัญหาน่าจะอยู่ที่ใด?

  1. Aไดรเวอร์การ์ดเครือข่าย
  2. Bการแปลงชื่อ (DNS)
  3. Cเกตเวย์เริ่มต้น
  4. Dสายเคเบิลทางกายภาพ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2511111111111111111111111110000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.89.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /25 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของเน็ตเวิร์กแอดเดรสของซับเน็ต 2 คือเท่าใด

192.168.89.0/24/25ซับเน็ต 2 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)
x =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออกเท็ตที่สาม 152 … 154112806403211618040201ร่วมกันเปลี่ยนแปลง

เราเตอร์มีเส้นทางไปยังเครือข่ายเหล่านี้: 10.180.152.0/24, 10.180.153.0/24, 10.180.154.0/24 ความยาวพรีฟิกซ์ยาวที่สุด p ของเส้นทางสรุปเส้นเดียวที่ครอบคลุมทั้งหมดคือเท่าใด

10.180.152.0/24 … 10.180.154.0/24
p =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 235

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

21 = 0001 0101
ที่กลับบิตแล้ว: 1110 1010
+1 → 1110 1011

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1110 1011₂ = 256 − 21 = 235

คำตอบ

U = 235
2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 32

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

การเลื่อนขวา 2 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 2 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย

1000 0010 >> 2
= 0010 0000

ค่าของผลลัพธ์

0010 0000₂ = 32

คำตอบ

R = 32
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: r → (q → p)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

เอ็กซ์พอร์เทชัน: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c) ทั้งสองเป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1, b = 1 และ c = 0
(r ∧ q) → p ≡ r → (q → p)

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 0
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0
p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 0

คำตอบ

r → (q → p)

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: a

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

a = 1, c = 0: a = 1, c = 0, c ∧ a = 0, ¬a = 0

สรุป

a (ซิลโลจิซึมแบบเลือก)

คำตอบ

a
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ABCD000111100001111000111312040507061120130150141819011010

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

B′C′D
AC′D′
A′B′C

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = B′C′D + AC′D′ + A′B′C
N = 3

คำตอบ

N = 3
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: ขอบสัญญาณนาฬิกา 5

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป D คัดลอก D ทุกขอบขาขึ้น: Q⁺ = D

1: D = 0 → Q = 0
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1

การเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 ครั้งแรก

ขอบสัญญาณนาฬิกา 5

คำตอบ

ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 6−1 mod 17 = 3

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·6 (mod 17)

r = 17, t = 0
r = 6, q = 2, t = 1
r = 5, q = 1, t = −2
r = 1, q = 5, t = 3

อินเวอร์ส

1 ≡ 3·6 (mod 17)
x = 3
ตรวจสอบ: 6·3 = 18 = 1·17 + 1

คำตอบ

6−1 mod 17 = 3
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 1530 mod 19 = 7

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังฐานสอง

30 = 111102 = 16 + 8 + 4 + 2

การยกกำลังสองซ้ำ

151 ≡ 15 (mod 19)
152 ≡ 16 (mod 19)
154 ≡ 9 (mod 19)
158 ≡ 5 (mod 19)
1516 ≡ 6 (mod 19)

คูณเลขยกกำลังที่ต้องใช้

1530 ≡ 16·9·5·6 ≡ 7 (mod 19)

คำตอบ

1530 mod 19 = 7
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน

คำตอบ

A · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

D · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

D · O(1)
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · preorder และ inorder

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Preorder ให้ราก และตำแหน่งของมันในลำดับ inorder แบ่งต้นไม้ย่อยซ้ายและขวา preorder กับ postorder ไม่ชัดเจนเมื่อโหนดมีลูกตัวเดียว

คำตอบ

A · preorder และ inorder
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 6

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

คำตอบ

L = 6

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 14

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3, C: 2
C (2): E: 7
B (3): D: 10
E (7): F: 14
D (10)
F (14)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 14

คำตอบ

d(F) = 14
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · แต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

A → B หมายความว่าสองแถวใดที่มีค่า A เหมือนกันต้องมีค่า B เหมือนกัน A กำหนดค่า B

คำตอบ

D · แต่ละค่าของ A สัมพันธ์กับค่าของ B เพียงค่าเดียว
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: C · Read committed

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Read committed ซ่อนการเปลี่ยนแปลงที่ยังไม่ commit ส่วน repeatable read ป้องกัน non-repeatable read ด้วย และ serializable ป้องกัน phantom ด้วย

คำตอบ

C · Read committed
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: C · 0–1023

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

พอร์ต 0–1023 เป็นพอร์ตที่รู้จักกันดีสำหรับบริการมาตรฐาน 1024–49151 เป็นพอร์ตที่ลงทะเบียน และ 49152–65535 เป็นพอร์ตไดนามิกหรือส่วนตัว

คำตอบ

C · 0–1023
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: B · การแปลงชื่อ (DNS)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การ ping ไปยัง IP ภายนอกสำเร็จพิสูจน์ว่าสายเคเบิล การกำหนดที่อยู่ และการกำหนดเส้นทางใช้ได้ ชื่อที่ล้มเหลวชี้ไปที่ปัญหาเซิร์ฟเวอร์ DNS หรือการตั้งค่ารีโซลเวอร์

คำตอบ

B · การแปลงชื่อ (DNS)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อก

27 = 128

ซับเน็ตหมายเลข 2

เครือข่าย: (2 − 1)·128 = 128
บรอดคาสต์: 128 + 128 − 1 = 255

คำตอบ

x = 128
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 22

การสรุปเส้นทาง: เส้นทางสรุป a.b.c.0/p ครอบคลุมทุกเครือข่ายที่ p บิตแรกตรงกัน เขียนออกเท็ตที่ต่างกันของเครือข่ายแรกและสุดท้ายเป็นเลขฐานสอง จำนวนบิตนำหน้าที่ตรงกัน บวกบิตของออกเท็ตก่อนหน้า คือพรีฟิกซ์สรุปที่ยาวที่สุด

เทียบบิต

152 = 10011000
154 = 10011010
บิตนำหน้าที่ตรงกัน: 6

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 16 + 6 = 22

คำตอบ

p = /22

เส้นทางสรุป: 10.180.152.0/22 (ครอบคลุมเครือข่าย 1 เครือข่ายที่ไม่อยู่ในรายการด้วย)

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals