ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
รูปแบบ 8 บิต 0110 0110 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด
0110 01108 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1001 0010 AND 0101 0011 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
1001 0010AND0101 0011
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q))
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
กำหนดสมมติฐาน r ∨ p; ¬r บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น
r ∨ p¬r
- 1p
- 2¬p
- 3r
- 4r ∧ p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
จงทำ F = ABC′ + A′BC + A′BC′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L
F = ABC′ + A′BC + A′BC′
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ตัวนับริง 4 บิต Q₃Q₂Q₁Q₀ เริ่มที่ 1010 ทุกขอบสัญญาณนาฬิกา บิตเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) และ Q₃ รับค่า Q₀ จงหาสถานะ Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ เป็นเลขฐานสิบหลัง 7 ขอบสัญญาณนาฬิกา
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10107
Q =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(867) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 867 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 867
n = 867 = 3·172
φ(867) =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
กุญแจ RSA ใช้ p = 7, q = 17 และ e = 13 จงถอดรหัสข้อความเข้ารหัส c = 74: หาข้อความ m
p = 7q = 17e = 13c = 74
m =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุน (amortised analysis) วัดสิ่งใด
- Aต้นทุนคาดหมายเหนืออินพุตสุ่ม
- Bต้นทุนของอัลกอริทึมบนอินพุตที่ดีที่สุด
- Cต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
- Dต้นทุนของการดำเนินการเดียวที่แพงที่สุดในลำดับการดำเนินการ
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
ปัญหาการหยุด (halting problem) แสดงว่า
- Aไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
- Bทุกโปรแกรมจะหยุดในที่สุด
- Cควรหลีกเลี่ยงลูป
- Dบางโปรแกรมทำงานเร็วขึ้นบนคอมพิวเตอร์ที่เร็วกว่า การหยุดจึงขึ้นอยู่กับฮาร์ดแวร์
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
การท่องแบบ in-order ของ binary search tree เยี่ยมคีย์ตามลำดับ
- Aเรียงจากมากไปน้อยเสมอ
- Bตามลำดับการแทรก
- Cเรียงจากน้อยไปมาก
- Dตามระดับ
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
คุณสมบัติใดทำให้ B-tree ทุกต้นสมดุลอย่างสมบูรณ์
- Aใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
- Bคีย์ถูกเก็บเฉพาะที่ราก
- Cทุกโหนดมีลูกสองตัวพอดี
- Dแต่ละโหนดเก็บหนึ่งคีย์
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน
K6
H =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ D กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N
M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
ROLLBACK TO SAVEPOINT s1 ทำอะไร?
- Aลบจุดบันทึกและตารางทั้งหมดที่เปลี่ยนตั้งแต่นั้น
- Bจบทรานแซกชันและ commit ทั้งหมด
- Cยกเลิกทั้งทรานแซกชันตั้งแต่ต้น
- Dยกเลิกการเปลี่ยนแปลงหลังจุดบันทึก s1 โดยคงทรานแซกชันไว้
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
เหตุใด DBMS จำนวนมากจึงใช้ strict two-phase locking โดยถือล็อกแบบเอกสิทธิ์จนถึง commit?
- Aทำให้ deadlock เป็นไปไม่ได้
- Bป้องกัน cascading abort เพราะไม่มีใครอ่านการเขียนที่ยังไม่ commit ได้
- Cทำให้ทรานแซกชันอ่านข้อมูล dirty ได้อย่างปลอดภัย
- Dไม่ต้องใช้ล็อกของทรานแซกชัน
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
เราเตอร์มีเส้นทางสำหรับ 10.0.0.0/8 และ 10.1.0.0/16 ใช้เส้นทางใดสำหรับแพ็กเก็ตไปยัง 10.1.5.5?
- A10.1.0.0/16 เพราะเป็นพรีฟิกซ์ที่ตรงกันยาวที่สุด
- B10.0.0.0/8 เพราะครอบคลุมที่อยู่มากกว่า /16
- C10.0.0.0/8 เพราะถูกเพิ่มก่อน
- Dทั้งสองเส้นทาง โดยแบ่งทราฟฟิกเท่า ๆ กัน
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
หลังเกิดการชนซ้ำ ๆ สถานีอีเทอร์เน็ตแบบดั้งเดิมเลือกเวลารอจากช่วงที่เพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้ง เพราะเหตุใด?
- Aเพื่อซิงโครไนซ์ทุกสถานีกับนาฬิกาเดียว
- Bเพื่อให้สายเคเบิลส่งสัญญาณไปได้ไกลขึ้น
- Cเพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน
- Dเพื่อให้สถานีที่มีที่อยู่ MAC สูงสุดมีลำดับความสำคัญบนสายที่ใช้ร่วมกัน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.198.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /27 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของเน็ตเวิร์กแอดเดรสของซับเน็ต 4 คือเท่าใด
192.168.198.0/24/27ซับเน็ต 4 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)
x =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
เครือข่าย 192.168.122.0/24 ถูกแบ่งด้วย VLSM สำหรับ LAN เหล่านี้: A: 6 โฮสต์, B: 8 โฮสต์, C: 20 โฮสต์, D: 4 โฮสต์, E: 21 โฮสต์ ซับเน็ตถูกจัดสรรจาก .0 ขึ้นไป โดย LAN ที่มีโฮสต์มากที่สุดมาก่อน แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่พอดี ออกเท็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายของ LAN D คือเท่าใด
A: 6B: 8C: 20D: 4E: 21
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: N = 102
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บวกค่าประจำตำแหน่ง
บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ
64 + 32 + 4 + 2 = 102
คำตอบ
N = 102
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 18
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
AND ให้ 1 เฉพาะที่ทั้งสองบิตเป็น 1
1001 0010
AND 0101 0011
= 0001 0010
ค่าของผลลัพธ์
0001 0010₂ = 18
คำตอบ
R = 18
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 2
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: r ↔ p = 1, ¬q = 0, p ↔ ¬q = 0, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
p = 1, q = 1, r = 0: r ↔ p = 0, ¬q = 0, p ↔ ¬q = 0, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 0, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: r ↔ p = 1, ¬q = 1, p ↔ ¬q = 1, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r ↔ p = 0, ¬q = 1, p ↔ ¬q = 1, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: r ↔ p = 0, ¬q = 0, p ↔ ¬q = 1, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: r ↔ p = 1, ¬q = 0, p ↔ ¬q = 1, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r ↔ p = 0, ¬q = 1, p ↔ ¬q = 0, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 0, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: r ↔ p = 1, ¬q = 1, p ↔ ¬q = 0, (r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q) = 1, ¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)) = 0
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
¬((r ↔ p) ∨ (p ↔ ¬q)): 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0
N = 2
คำตอบ
N = 2
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: p
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง
p = 1, r = 0: p = 1, ¬p = 0, r = 0, r ∧ p = 0
สรุป
p (ซิลโลจิซึมแบบเลือก)
คำตอบ
p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 4
พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง
มินเทอมของนิพจน์
ABC′ → m(6)
A′BC → m(3)
A′BC′ → m(2)
จัดกลุ่มและอ่านค่า
F = BC′ + A′B
นับลิเทอรัล
L = 4
คำตอบ
L = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: Q = 5
ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n
สถานะหลังทุกขอบ
1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101
ค่าฐานสิบ
0101₂ = 5
คำตอบ
Q = 5
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: φ(867) = 544
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ตัวประกอบเฉพาะ
867 = 3·172
โทเทียนต์
φ(867) = φ(289)·φ(3) = 272·2 = 544
คำตอบ
φ(867) = 544
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: m = 109
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
เลขชี้กำลังส่วนตัว
n = 119, φ(n) = 96
d = 13−1 mod 96 = 37
ถอดรหัสด้วยการยกกำลังสองซ้ำ
37 = 32 + 4 + 1
741 ≡ 74 (mod 119)
742 ≡ 2 (mod 119)
744 ≡ 4 (mod 119)
748 ≡ 16 (mod 119)
7416 ≡ 18 (mod 119)
7432 ≡ 86 (mod 119)
7437 ≡ 74·4·86 ≡ 109 (mod 119)
ข้อความ
m = 109
ตรวจสอบ: 10913 mod 119 = 74
คำตอบ
m = 109
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุนกระจายต้นทุนของการดำเนินการแพงที่เกิดนาน ๆ ครั้งไปยังการดำเนินการถูกจำนวนมาก ให้ค่าเฉลี่ยที่รับประกันสำหรับลำดับใด ๆ
คำตอบ
C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ทัวริงแสดงว่าปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้ (undecidable): การสมมติว่ามีตัวตัดสินอยู่นำไปสู่ข้อขัดแย้งกับโปรแกรมที่ทำสิ่งตรงข้าม
คำตอบ
A · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · เรียงจากน้อยไปมาก
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การเยี่ยมต้นไม้ย่อยซ้าย แล้วโหนด แล้วต้นไม้ย่อยขวา ให้คีย์ของ BST ตามลำดับเรียง
คำตอบ
C · เรียงจากน้อยไปมาก
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
โหนดแยกขึ้นด้านบนเมื่อเต็ม และต้นไม้สูงขึ้นเฉพาะเมื่อรากแยก ใบทั้งหมดจึงอยู่ที่ระดับเดียวกันเสมอ
คำตอบ
A · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: H = 60
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
นับ
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
คำตอบ
H = 60
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: N = 2
ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
เมทริกซ์ประชิด
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0
เพื่อนบ้านร่วม
(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2
คำตอบ
N = 2
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · ยกเลิกการเปลี่ยนแปลงหลังจุดบันทึก s1 โดยคงทรานแซกชันไว้
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
savepoint ทำเครื่องหมายจุดหนึ่งในทรานแซกชัน การ rollback ไปยังจุดนั้นยกเลิกงานหลังจากนั้น ขณะที่การเปลี่ยนแปลงก่อนหน้ายังค้างอยู่จนกว่าจะ COMMIT
คำตอบ
D · ยกเลิกการเปลี่ยนแปลงหลังจุดบันทึก s1 โดยคงทรานแซกชันไว้
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: B · ป้องกัน cascading abort เพราะไม่มีใครอ่านการเขียนที่ยังไม่ commit ได้
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
2PL พื้นฐานรับประกัน serializability แต่การปล่อยล็อกเขียนเร็วอาจให้ผู้อื่นอ่านข้อมูลที่ภายหลังถูก rollback ส่วน strict 2PL หลีกเลี่ยงปัญหานี้
คำตอบ
B · ป้องกัน cascading abort เพราะไม่มีใครอ่านการเขียนที่ยังไม่ commit ได้
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · 10.1.0.0/16 เพราะเป็นพรีฟิกซ์ที่ตรงกันยาวที่สุด
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การส่งต่อ IP ใช้การจับคู่พรีฟิกซ์ยาวที่สุด (longest prefix match): ในบรรดาเส้นทางที่ตรงกับปลายทาง จะเลือกเส้นทางที่มีมาสก์ยาวที่สุด
คำตอบ
A · 10.1.0.0/16 เพราะเป็นพรีฟิกซ์ที่ตรงกันยาวที่สุด
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: C · เพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การชนแต่ละครั้งที่เพิ่มขึ้นบ่งชี้ว่ามีการแย่งชิงมากขึ้น ช่วงสุ่มจึงขยาย และสถานีมีโอกาสเลือกช่องเวลาต่างกันมากขึ้น ปรับตามภาระได้โดยไม่ต้องมีการควบคุมส่วนกลาง
คำตอบ
C · เพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 96
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ขนาดบล็อก
25 = 32
ซับเน็ตหมายเลข 4
เครือข่าย: (4 − 1)·32 = 96
บรอดคาสต์: 96 + 32 − 1 = 127
คำตอบ
x = 96
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 88
VLSM: แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่ 2ʰ − 2 ≥ จำนวนโฮสต์ของมัน คือพรีฟิกซ์ 32 − h การจัดสรรซับเน็ตที่ใหญ่ที่สุดก่อนทำให้ทุกบล็อกอยู่ในแนวพหุคูณของขนาดตัวเอง ที่อยู่เครือข่ายจึงได้จากการบวกขนาดบล็อก
ขนาดบล็อกของแต่ละ LAN
E: 21 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
C: 20 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
B: 8 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)
A: 6 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)
D: 4 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)
การจัดสรร จากใหญ่ที่สุดก่อน
E: .0 – .31
C: .32 – .63
B: .64 – .79
A: .80 – .87
D: .88 – .95
คำตอบ
x = 88
LAN D: 192.168.122.88/29
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals