ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −93 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −938 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1000 0011 << 3 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
1000 0011<< 3
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ
((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p)
- 1ซ้ำซ้อน (tautology)
- 2ขัดแย้ง (contradiction)
- 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∀x (F(x) ∨ G(x))
- 1∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
- 2∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
- 3∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
- 4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12) มีลิเทอรัลรวมกี่ตัว L (ตัวแปรที่มีไพรม์นับเป็นหนึ่งลิเทอรัล)
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12)
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(6, 9, 12, 13, 15) + d(0, 2, 3, 5, 8) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N
F(A, B, C, D) = Σm(6, 9, 12, 13, 15) + d(0, 2, 3, 5, 8)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงแก้ 11x ≡ 3 (mod 13) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 13
11x ≡ 3 (mod 13)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
เข้ารหัสข้อความ m = 320 ด้วยกุญแจสาธารณะ RSA (n, e) = (517, 17) จงหาข้อความเข้ารหัส c
n = 517e = 17m = 320
c =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
การค้นหาแบบทวิภาคต้องเปรียบเทียบประมาณกี่ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุดบนอาร์เรย์ที่เรียงแล้วซึ่งมี 1,000,000 สมาชิก
- Aประมาณ 500,000
- Bประมาณ 1,000
- Cประมาณ 100
- Dประมาณ 20
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + n log n มีผลเฉลยเป็นเท่าใด
- AΘ(n²)
- BΘ(n log n)
- CΘ(n)
- DΘ(n log² n)
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
นิพจน์ postfix 3 4 + 2 * มีค่าเท่าใด
- A14
- B10
- C11
- D24
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
การลบโหนดที่มีลูกสองตัวจาก binary search tree มักทำโดย
- Aสลับกับราก
- Bแทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
- Cลบต้นไม้ย่อยทั้งหมด
- Dสร้างต้นไม้ย่อยที่อยู่ใต้โหนดนั้นขึ้นใหม่ทั้งหมดแล้วแทรกคีย์ทุกตัวที่เคยมีอยู่ลงไปใหม่
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ
|V| = 6|E| = 8
- 1วงจรออยเลอร์
- 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
- 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(D) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป D ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: D
d(D) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
ตาราง a มี 3 แถว และตาราง b มี 4 แถว SELECT * FROM a CROSS JOIN b คืนกี่แถว?
- A3
- B7
- C4
- D12
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
เหตุใดคิวรีที่มี WHERE YEAR(order_date) = 2025 อาจไม่ใช้ดัชนีบน order_date?
- Aการใช้ฟังก์ชันกับคอลัมน์ทำให้ค้นหาช่วงด้วยดัชนีแบบง่ายไม่ได้
- BYEAR ไม่ใช่ SQL ที่ถูกต้อง
- Cดัชนีบน order_date ใช้เฉพาะกับ ORDER BY ไม่เคยใช้กับ WHERE
- Dดัชนีใช้กับวันที่ไม่ได้เลย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
เมื่อใช้พาริตีคู่ (even parity) บิตพาริตีใดที่เพิ่มให้บิตข้อมูล 1011001?
- A4
- B1
- C2
- D0
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
สถานี A และ C เข้าถึงแอ็กเซสพอยต์ B ได้ทั้งคู่ แต่ได้ยินกันไม่ได้ เฟรมของทั้งสองจึงชนกันที่ B 802.11 ช่วยได้อย่างไร?
- Aโดยกำหนดเส้นทางเฟรมของ A ผ่าน C
- Bโดยให้ A และ C ใช้การตรวจจับการชนเพื่อหยุดส่งเมื่อเฟรมทับซ้อนกัน
- Cการแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ
- Dโดยเพิ่มค่า TTL ของเฟรม
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.110.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /26 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของบรอดคาสต์แอดเดรสของซับเน็ต 2 คือเท่าใด
192.168.110.0/24/26ซับเน็ต 2 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)
x =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.110.75/26 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.110.75/26
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 163
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
93 = 0101 1101
ที่กลับบิตแล้ว: 1010 0010
+1 → 1010 0011
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1010 0011₂ = 256 − 93 = 163
คำตอบ
U = 163
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 24
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
การเลื่อนซ้าย 3 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางซ้าย 3 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายซ้ายหายไปและศูนย์เข้ามาทางขวา
1000 0011 << 3
= 0001 1000
ค่าของผลลัพธ์
0001 1000₂ = 24
คำตอบ
R = 24
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: contingency
ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 0, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, r → p = 0, (r → q) ∧ (r → p) = 0, q → p = 0, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 1, q → p = 0, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, r → p = 0, (r → q) ∧ (r → p) = 0, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, r → p = 1, (r → q) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
จัดประเภท
((r → q) ∧ (r → p)) → (q → p): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1
1 ใน 7 จาก 8 แถว 0 ในแถวอื่น: ประพจน์ที่ไม่แน่นอน (contingency)
คำตอบ
contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
คำตอบ
∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 15
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 1
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
B′C′D
BC′D′
A′CD
AC′D′
A′B′C
รูป SOP ที่น้อยที่สุด
F = B′C′D + BC′D′ + A′CD + AC′D′ + A′B′C
L = 15
คำตอบ
L = 15
มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 3
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
BC′D, AC′, A′CD′, ABD
การครอบคลุมที่น้อยที่สุด
F = AC′ + A′CD′ + ABD
N = 3
คำตอบ
N = 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 5
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ตัวผกผันของ 11
r = 13, t = 0
r = 11, q = 1, t = 1
r = 2, q = 5, t = −1
r = 1, q = 2, t = 6
11−1 ≡ 6 (mod 13)
แก้สมการ
x ≡ 6·3 = 18 ≡ 5 (mod 13)
ตรวจสอบ: 11·5 = 55 ≡ 3 (mod 13)
คำตอบ
x = 5
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: c = 419
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
การยกกำลังสองซ้ำ
17 = 16 + 1
3201 ≡ 320 (mod 517)
3202 ≡ 34 (mod 517)
3204 ≡ 122 (mod 517)
3208 ≡ 408 (mod 517)
32016 ≡ 507 (mod 517)
32017 ≡ 320·507 ≡ 419 (mod 517)
ข้อความเข้ารหัส
c = 419
คำตอบ
c = 419
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · ประมาณ 20
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
220 ≈ 1,048,576 ดังนั้นหลังแบ่งครึ่งประมาณ 20 ครั้งจะเหลือสมาชิกเพียงตัวเดียว
คำตอบ
D · ประมาณ 20
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · Θ(n log² n)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ระดับที่ k ทำงานประมาณ n log(n / 2ᵏ) และผลรวมตลอด log n ระดับได้ Θ(n log² n) ซึ่งเป็นกรณีที่สองแบบขยายของทฤษฎีบทหลัก
คำตอบ
D · Θ(n log² n)
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · 14
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
push 3 และ 4, + ได้ 7; push 2, * ได้ 7 × 2 = 14
คำตอบ
A · 14
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: B · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
In-order successor มีลูกไม่เกินหนึ่งตัว จึงลบได้ง่ายหลังคัดลอกคีย์ไปยังโหนดที่ถูกลบ
คำตอบ
B · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
ดีกรี
deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2
จุดยอดคี่
A, B, C, D → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
คำตอบ
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(D) = 32
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): B: 3
B (3): C: 16, G: 16
C (16): E: 22
G (16)
E (22): D: 32, F: 29
F (29)
D (32)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → B → C → E → D
d(D) = 32
คำตอบ
d(D) = 32
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · 12
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
cross join ให้ผลคูณคาร์ทีเซียน 3 × 4 = 12 แถว
คำตอบ
D · 12
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · การใช้ฟังก์ชันกับคอลัมน์ทำให้ค้นหาช่วงด้วยดัชนีแบบง่ายไม่ได้
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
นิพจน์นี้ไม่ "sargable" การใช้ order_date >= '2025-01-01' AND order_date < '2026-01-01' ทำให้สแกนช่วงด้วยดัชนีได้
คำตอบ
A · การใช้ฟังก์ชันกับคอลัมน์ทำให้ค้นหาช่วงด้วยดัชนีแบบง่ายไม่ได้
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: D · 0
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
1011001 มีบิต 1 อยู่สี่บิต ซึ่งเป็นเลขคู่อยู่แล้ว บิตพาริตีจึงเป็น 0 หากเป็นพาริตีคี่จะเป็น 1
คำตอบ
D · 0
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: C · การแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
สถานีส่ง Request to Send, AP ตอบด้วย Clear to Send ซึ่งทุกสถานีในระยะได้ยิน สถานีที่ซ่อนอยู่จึงเลื่อนการส่งตามเวลาที่จองไว้
คำตอบ
C · การแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 127
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ขนาดบล็อก
26 = 64
ซับเน็ตหมายเลข 2
เครือข่าย: (2 − 1)·64 = 64
บรอดคาสต์: 64 + 64 − 1 = 127
คำตอบ
x = 127
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 127
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
26 = 64
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊75/64⌋·64 = 64
บรอดคาสต์: 64 + 64 − 1 = 127
โฮสต์ที่ใช้ได้: 65 … 126
คำตอบ
x = 127
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals