พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −42 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −428 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0010 0010 AND 0011 1001 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

0010 0010AND0011 1001

R =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ c → a ให้คลิกสูตรนั้น

c → a

1c ∨ ¬a
2¬c ∧ a
3¬c → ¬a
4¬c ∨ a

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ ¬(¬(¬s → (p ∧ q)) ↔ ((p ∨ r) ∨ (q ↔ s))) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

¬(¬(¬s → (p ∧ q)) ↔ ((p ∨ r) ∨ (q ↔ s)))

N =

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

จงทำ F = AB′C + ABC + ABC′ + AB′C′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L

F = AB′C + ABC + ABC′ + AB′C′

L =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

สำหรับ F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 14) + d(1, 13) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ จงหาจำนวน N ของไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 14) + d(1, 13)

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 32 มอดูโล 67: จำนวน x ที่ 0 < x < 67 และ 32·x ≡ 1 (mod 67)

a = 32n = 67

32⁻¹ mod 67 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

73 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 28¹³¹⁰⁸ mod 73

p = 73k = 13108

28¹³¹⁰⁸ mod 73 =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้ว คุณหาสองสมาชิกที่ผลรวมเท่ากับเป้าหมายโดยเลื่อนตัวชี้จากแต่ละปลายเข้าหากัน ความซับซ้อนเชิงเวลาคือเท่าใด

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาเฉลี่ยในตารางแฮชจึงเป็น O(1) แต่กรณีเลวร้ายที่สุดเป็น O(n)

Aต้องเรียงคีย์ก่อน
Bฟังก์ชันแฮชช้า
Cอาร์เรย์เข้าถึงใน O(n)
Dคีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

A√n
Blog₂ n
C1
Dn (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ decrease-key ในฮีปทวิภาค (เมื่อทราบตำแหน่งของสมาชิก) คือ

AO(1)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 5

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กความยาว 2 จาก E ไป C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2

N =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

รูปแบบบรรทัดฐานที่สาม (3NF) ขจัด:

Aการพึ่งพาแบบถ่ายทอดระหว่างแอตทริบิวต์ที่ไม่ใช่คีย์
Bค่าอะตอมมิก
Cดัชนีที่ซ้ำซ้อนบนคอลัมน์ที่ไม่ได้เป็นส่วนของคีย์
Dคีย์ประกอบ

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

แอปรัน UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7 และรายงานความขัดแย้งหากไม่มีแถวถูกอัปเดต นี่คือเทคนิคใด?

Atwo-phase locking แบบเข้มงวดโดยล็อกระดับแถว
Bwrite-ahead logging
Cการแบ่งส่วนฐานข้อมูล (sharding)
Dการควบคุมภาวะพร้อมกันแบบมองโลกในแง่ดี (optimistic concurrency control)

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

พรีฟิกซ์เดียวใดสรุปรวมทั้ง 192.168.0.0/24 และ 192.168.1.0/24 ได้?

A192.168.1.0/23
B192.168.0.0/25
C192.168.0.0/23
D192.168.0.0/22

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ปัญหานับถึงอนันต์ (count-to-infinity) เกิดในโพรโทคอลเลือกเส้นทางชนิดใด และอะไรช่วยแก้ไข?

Aแบบลิงก์สเตต; การ flood การอัปเดตลิงก์
Bแบบเวกเตอร์ระยะทาง; split horizon และ poison reverse
Cแบบเวกเตอร์เส้นทาง; เส้นทาง AS ที่ยาวขึ้น
Dการกำหนดเส้นทางแบบสถิต; การเพิ่มเส้นทางเริ่มต้น

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1062 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

1062 hosts

p =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.25.247/17 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด

172.20.25.247/17

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 214

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

42 = 0010 1010

ที่กลับบิตแล้ว: 1101 0101

+1 → 1101 0110

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1101 0110₂ = 256 − 42 = 214

คำตอบ

U = 214

2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 32

ทีละบิต

AND ให้ 1 เฉพาะที่ทั้งสองบิตเป็น 1

0010 0010

AND 0011 1001

= 0010 0000

ค่าของผลลัพธ์

0010 0000₂ = 32

คำตอบ

R = 32

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬c ∨ a

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 ดังนั้นจึงเท่ากับ ¬a ∨ b

c → a ≡ ¬c ∨ a

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

a = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1

a = 1, c = 0: 1 | 0 1 0 1

a = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 0

a = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1

คำตอบ

¬c ∨ a

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 10

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬s; p ∧ q; ¬s → (p ∧ q); ¬(¬s → (p ∧ q)); p ∨ r; q ↔ s; (p ∨ r) ∨ (q ↔ s); ¬(¬s → (p ∧ q)) ↔ ((p ∨ r) ∨ (q ↔ s)); ¬(¬(¬s → (p ∧ q)) ↔ ((p ∨ r) ∨ (q ↔ s)))

แยกตาม p

p = 1: 6

p = 0: 4

N = 6 + 4 = 10

คำตอบ

N = 10

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 1

พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง

มินเทอมของนิพจน์

AB′C → m(5)

ABC → m(7)

ABC′ → m(6)

AB′C′ → m(4)

จัดกลุ่มและอ่านค่า

F = A

นับลิเทอรัล

L = 1

คำตอบ

L = 1

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

BCD′, A′B′D, A′BD′, AB′C′D′

ไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น

BCD′, A′B′D, A′BD′, AB′C′D′

N = 4

คำตอบ

N = 4

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 32⁻¹ mod 67 = 44

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·32 (mod 67)

r = 67, t = 0

r = 32, q = 2, t = 1

r = 3, q = 10, t = −2

r = 2, q = 1, t = 21

r = 1, q = 2, t = −23

อินเวอร์ส

1 ≡ −23·32 (mod 67)

x = 44

ตรวจสอบ: 32·44 = 1408 = 21·67 + 1

คำตอบ

32⁻¹ mod 67 = 44

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 28¹³¹⁰⁸ mod 73 = 69

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

D · O(log n)

13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 10 = 2(L + 2) − 2

L = 8

คำตอบ

L = 8

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

B · แบบเวกเตอร์ระยะทาง; split horizon และ poison reverse

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 21

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1062

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1062 → h = 11

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 11 = 21

คำตอบ

p = /21

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 127

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2⁷ = 128

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.0.0

บรอดคาสต์: 172.20.127.255

คำตอบ

x = 127

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals