พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต0−12806403201608040201

ตั้งบิตให้เก็บ −49 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −498 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
24 บิต two's complement, N = ??เครื่องหมาย???????????????????????

จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 24 บิตคือเท่าใด

24 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
pqrr ∨ pq → (r ∨ p)(r → q) ∧ (q → (r ∨ p))111?110?101?100?011?010?001?000?

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(r → q) ∧ (q → (r ∨ p))
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
b ∧ cb → c¬b → ¬cc → b

กำหนดสมมติฐาน b → a; a → c บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

b → aa → c
  1. 1b ∧ c
  2. 2b → c
  3. 3¬b → ¬c
  4. 4c → b
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABC00011110010001131214050716

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 6) มีลิเทอรัลรวมกี่ตัว L (ตัวแปรที่มีไพรม์นับเป็นหนึ่งลิเทอรัล)

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 6)
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
DQ0​Q0​DQ1​Q1​DQ2​Q2​DQ3​Q3​DQ4​Q4​DQ5​Q5​CLKRING

ตัวนับริงทำจากฟลิปฟล็อป D 6 ตัว โดยเอาต์พุตสุดท้ายป้อนกลับไปยังอินพุตแรก และเริ่มด้วย 1 เพียงตัวเดียว ผ่านกี่สถานะที่ต่างกัน N

n = 6
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 29x ≡ 11 (mod 62) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 62

29x ≡ 11 (mod 62)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

46x ≡ 34 (mod 56) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 55}

46x ≡ 34 (mod 56)
N =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เวลาทำงานของ LSD radix sort กับจำนวนเต็ม n ตัวที่มี d หลักในฐาน k คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ทฤษฎีบท Cook–Levin พิสูจน์สิ่งใด

  1. AP ไม่เท่ากับ NP
  2. Bปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
  3. Cทุกปัญหา NP แก้ได้ในเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
  4. Dปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในฮีปทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์เริ่มที่ดัชนี 0 แม่ของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่ใด

  1. Aที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. Bที่ดัชนี ⌊i / 2⌋ + 1
  3. Cที่ดัชนี i − 1
  4. Dที่ดัชนี 2i + 1
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing เหตุใดการลบจึงมักทำด้วยเครื่องหมาย "tombstone"

  1. Aทำให้ตารางเรียงลำดับ
  2. Bคีย์ที่ลบต้องเก็บไว้ตลอดไปเพื่อความปลอดภัย จึงใช้ช่องนั้นซ้ำไม่ได้
  3. Cการทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
  4. Dtombstone เร่งการแฮช
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
51315966441413ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ทริกเกอร์ (trigger) ของฐานข้อมูลคืออะไร?

  1. Aคิวรีที่ผู้ใช้รันด้วยมือ
  2. Bโค้ดที่ทำงานอัตโนมัติเมื่อเกิดเหตุการณ์ที่กำหนด เช่น INSERT, UPDATE หรือ DELETE บนตาราง
  3. Cชนิดของดัชนีที่เร่งการค้นหา
  4. Dการสำรองฐานข้อมูลตามกำหนดเวลา
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง employee(emp_id, dept_id, dept_name) มีคีย์ emp_id และ dept_id → dept_name ข้อใดถูกต้อง?

  1. Aอยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF
  2. Bไม่อยู่ใน 2NF
  3. Cไม่อยู่ใน 1NF
  4. Dอยู่ใน BCNF จึงอยู่ใน 3NF ด้วย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ที่อยู่ลูปแบ็กของ IPv6 คืออะไร?

  1. Afe80::1
  2. Bff02::1
  3. C::
  4. D::1
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

BGP ทำหน้าที่หลักอะไรบนอินเทอร์เน็ต?

  1. Aกำหนดที่อยู่ IP ให้ผู้ใช้ตามบ้านผ่านผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ตของตน
  2. Bแลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
  3. Cแปลงชื่อเป็นที่อยู่
  4. Dเข้ารหัสข้อมูลระหว่างเราเตอร์
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/20 → /2511111111111111111111111110000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 10.47.240.0/20 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันด้วยพรีฟิกซ์ /25 มีกี่ซับเน็ต N

10.47.240.0/20/25
N =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เครือข่าย 192.168.64.0/24 ถูกแบ่งด้วย VLSM สำหรับ LAN เหล่านี้: A: 26 โฮสต์, B: 6 โฮสต์, C: 5 โฮสต์, D: 14 โฮสต์, E: 22 โฮสต์ ซับเน็ตถูกจัดสรรจาก .0 ขึ้นไป โดย LAN ที่มีโฮสต์มากที่สุดมาก่อน แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่พอดี ออกเท็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายของ LAN D คือเท่าใด

A: 26B: 6C: 5D: 14E: 22
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 207

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

49 = 0011 0001
ที่กลับบิตแล้ว: 1100 1110
+1 → 1100 1111

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1100 1111₂ = 256 − 49 = 207

คำตอบ

U = 207
2.ระบบเลข

คำตอบ: N = −8.389 × 10⁶

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่ติดลบมากที่สุด

−223 = −8388608

คำตอบ

N = −8388608
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 5

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 0, q → (r ∨ p) = 0, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 0, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) ∧ (q → (r ∨ p)) = 1

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(r → q) ∧ (q → (r ∨ p)): 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1
N = 5

คำตอบ

N = 5
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: b → c

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

a = 1, b = 1, c = 1: b ∧ c = 1, b → c = 1, ¬b → ¬c = 1, c → b = 1
a = 1, b = 0, c = 1: b ∧ c = 0, b → c = 1, ¬b → ¬c = 0, c → b = 0
a = 0, b = 0, c = 1: b ∧ c = 0, b → c = 1, ¬b → ¬c = 0, c → b = 0
a = 0, b = 0, c = 0: b ∧ c = 0, b → c = 1, ¬b → ¬c = 1, c → b = 1

สรุป

b → c (ซิลโลจิซึมสมมุติฐาน)

คำตอบ

b → c
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ABC00011110010001131214050716

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

AC′
A′B

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = AC′ + A′B
L = 4

คำตอบ

L = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 6

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

ลำดับสำหรับฟลิปฟล็อป 6 ตัว

100000 → 010000 → 001000 → 000100 → 000010 → 000001

จำนวนสถานะ

N = 6

คำตอบ

N = 6
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 41

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 29

r = 62, t = 0
r = 29, q = 2, t = 1
r = 4, q = 7, t = −2
r = 1, q = 4, t = 15
29−1 ≡ 15 (mod 62)

แก้สมการ

x ≡ 15·11 = 165 ≡ 41 (mod 62)
ตรวจสอบ: 29·41 = 1189 ≡ 11 (mod 62)

คำตอบ

x = 41
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 2

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(46, 56) = 2
23x ≡ 17 (mod 28)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

23−1 ≡ 11 (mod 28) → x ≡ 19 (mod 28)

คำตอบมอดูโล 56

x ∈ {19, 47}
N = 2

คำตอบ

N = 2
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(d(n + k))

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก d รอบเป็น counting sort ที่ใช้ O(n + k) ดังนั้นเมื่อ d และ k คงที่ ผลรวมจึงเป็นเชิงเส้นตาม n

คำตอบ

B · O(d(n + k))
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Cook และ Levin แสดงโดยอิสระต่อกันว่าทุกปัญหาใน NP ลดรูปมาเป็น SAT ในเวลาพหุนาม SAT จึงเป็นปัญหา NP-complete ข้อแรกที่รู้จัก

คำตอบ

B · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูกของ i อยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 ดังนั้นแม่ของ i คือ ⌊(i − 1) / 2⌋ ถ้าดัชนีเริ่มที่ 1 จะเป็น ⌊i / 2⌋

คำตอบ

A · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากช่องที่ถูกลบกลายเป็นช่องว่าง การค้นหาภายหลังอาจหยุดก่อนและพลาดคีย์ที่วางไว้ไกลออกไปตามลำดับการตรวจสอบ

คำตอบ

C · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

จุดยอดคี่

B, C, D, E → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 20

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 5, C: 13
B (5): D: 14, G: 9
G (9): E: 22
C (13)
D (14): F: 20
F (20)
E (22)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 20

คำตอบ

d(F) = 20
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: B · โค้ดที่ทำงานอัตโนมัติเมื่อเกิดเหตุการณ์ที่กำหนด เช่น INSERT, UPDATE หรือ DELETE บนตาราง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทริกเกอร์ทำงานอัตโนมัติก่อนหรือหลังข้อมูลเปลี่ยน เช่น เพื่อเขียนบันทึกการตรวจสอบหรือบังคับกฎที่ซับซ้อน

คำตอบ

B · โค้ดที่ทำงานอัตโนมัติเมื่อเกิดเหตุการณ์ที่กำหนด เช่น INSERT, UPDATE หรือ DELETE บนตาราง
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · อยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์มีหนึ่งคอลัมน์ 2NF จึงเป็นจริง แต่ emp_id → dept_id → dept_name เป็นการพึ่งพาแบบถ่ายทอด ซึ่งละเมิด 3NF

คำตอบ

A · อยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · ::1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

::1 คือที่อยู่ลูปแบ็ก ส่วน :: คือที่อยู่ที่ไม่ระบุ (unspecified) fe80::/10 คือลิงก์โลคัล และ ff02::1 คือกลุ่มมัลติแคสต์ทุกโหนด

คำตอบ

D · ::1
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: B · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

BGP เป็นโพรโทคอลเลือกเส้นทางระหว่างโดเมน ระบบอิสระประกาศพรีฟิกซ์ที่เข้าถึงได้และเลือกเส้นทางตามนโยบาย

คำตอบ

B · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

บิตที่ยืมมา

25 − 20 = 5

จำนวนซับเน็ต

N = 25 = 32

คำตอบ

N = 32

แต่ละซับเน็ต /25 มีโฮสต์ที่ใช้ได้ 27 − 2 = 126 โฮสต์

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 64

VLSM: แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่ 2ʰ − 2 ≥ จำนวนโฮสต์ของมัน คือพรีฟิกซ์ 32 − h การจัดสรรซับเน็ตที่ใหญ่ที่สุดก่อนทำให้ทุกบล็อกอยู่ในแนวพหุคูณของขนาดตัวเอง ที่อยู่เครือข่ายจึงได้จากการบวกขนาดบล็อก

ขนาดบล็อกของแต่ละ LAN

A: 26 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
E: 22 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
D: 14 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)
B: 6 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)
C: 5 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)

การจัดสรร จากใหญ่ที่สุดก่อน

A: .0 – .31
E: .32 – .63
D: .64 – .79
B: .80 – .87
C: .88 – .95

คำตอบ

x = 64

LAN D: 192.168.64.64/28

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals