พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต0−12806403201608040201

ตั้งบิตให้เก็บ −67 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −678 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
12 บิต two's complement, N = ??เครื่องหมาย???????????

จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 12 บิตคือเท่าใด

12 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
(r ∨ p) ∧ ¬q¬(r ∨ p) ∧ q¬(r ∨ p) → ¬q¬(r ∨ p) ∧ ¬q

คุณต้องการพิสูจน์ (r ∨ p) → q ด้วยข้อขัดแย้ง ควรสมมติประโยคใดตอนเริ่มต้น ให้คลิกประโยคนั้น

(r ∨ p) → q
  1. 1(r ∨ p) ∧ ¬q
  2. 2¬(r ∨ p) ∧ q
  3. 3¬(r ∨ p) → ¬q
  4. 4¬(r ∨ p) ∧ ¬q
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
r ∨ pr ∧ p¬rq ∨ p

กำหนดสมมติฐาน q ∨ r; ¬q ∨ p บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

q ∨ r¬q ∨ p
  1. 1r ∨ p
  2. 2r ∧ p
  3. 3¬r
  4. 4q ∨ p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
MUXC′I0​CI1​CI2​0I3​ABS1​S0​F

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = C′, I₁ = C, I₂ = C, I₃ = 0 จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = C′I₁ = CI₂ = CI₃ = 0
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD00011110000111101011031204X50706X12013015114X819X11X10

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 9, 14) + d(5, 8, 10, 11, 12) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 9, 14) + d(5, 8, 10, 11, 12)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(77) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 77 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 77

n = 77 = 7·11
φ(77) =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
27c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1333, 17)d

เข้ารหัสข้อความ m = 27 ด้วยกุญแจสาธารณะ RSA (n, e) = (1333, 17) จงหาข้อความเข้ารหัส c

n = 1333e = 17m = 27
c =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้ว คุณหาสองสมาชิกที่ผลรวมเท่ากับเป้าหมายโดยเลื่อนตัวชี้จากแต่ละปลายเข้าหากัน ความซับซ้อนเชิงเวลาคือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมใดหาต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดซึ่งไม่ก่อวงจรซ้ำ ๆ

  1. AFloyd–Warshall
  2. Bอัลกอริทึมของ Prim ที่เริ่มจากโหนดเดียว
  3. Cอัลกอริทึมของ Dijkstra
  4. Dอัลกอริทึมของ Kruskal
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

โหนด AVL ไม่สมดุลเพราะต้นไม้ย่อยขวาของลูกซ้ายสูงเกินไป (กรณีซ้าย–ขวา) ใช้วิธีแก้ใด

  1. Aหมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
  2. Bหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนด
  3. Cหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนด
  4. Dหมุนขวาที่ลูกซ้าย แล้วหมุนซ้ายที่โหนด
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
6711212162013ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม DE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คิวรีใดคืนจำนวนเมืองที่ต่างกันในตาราง customers?

  1. ASELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
  2. BSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
  3. CSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
  4. DSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ข้อเสียที่รู้จักของการแยกตารางเป็น BCNF เมื่อเทียบกับ 3NF คืออะไร?

  1. Aการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันบางอย่างอาจตรวจสอบภายในตารางเดียวไม่ได้อีกต่อไป
  2. Bตาราง BCNF มีคีย์หลักไม่ได้
  3. Cการแยกทำให้ข้อมูลหายเสมอเมื่อเชื่อมกลับ
  4. DBCNF ยอมให้มีความซ้ำซ้อนมากกว่า 3NF
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ความแตกต่างหลักระหว่างเมทอด HTTP แบบ GET และ POST คืออะไร?

  1. AGET ใช้ UDP ส่วน POST ใช้ TCP
  2. BGET เข้ารหัส ส่วน POST ไม่เข้ารหัส
  3. CGET ลบทรัพยากร ส่วน POST อ่านทรัพยากรจากฐานข้อมูลของเซิร์ฟเวอร์
  4. DGET ดึงทรัพยากร ส่วน POST ส่งข้อมูลในเนื้อหาของคำขอ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

โพรโทคอลเลือกเส้นทางใดเป็นโพรโทคอลแบบลิงก์สเตต (link-state)?

  1. AARP
  2. BOSPF
  3. CBGP
  4. DRIP
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2711111111111111111111111111100000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 8 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/248 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เครือข่าย 192.168.126.0/24 ถูกแบ่งด้วย VLSM สำหรับ LAN เหล่านี้: A: 11 โฮสต์, B: 33 โฮสต์, C: 17 โฮสต์, D: 7 โฮสต์, E: 6 โฮสต์ ซับเน็ตถูกจัดสรรจาก .0 ขึ้นไป โดย LAN ที่มีโฮสต์มากที่สุดมาก่อน แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่พอดี ออกเท็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายของ LAN A คือเท่าใด

A: 11B: 33C: 17D: 7E: 6
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 189

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

67 = 0100 0011
ที่กลับบิตแล้ว: 1011 1100
+1 → 1011 1101

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

คำตอบ

U = 189
2.ระบบเลข

คำตอบ: N = −2048

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่ติดลบมากที่สุด

−211 = −2048

คำตอบ

N = −2048
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: (r ∨ p) ∧ ¬q

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = r ∨ p, b = q

นิเสธของนัย

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (r ∨ p) ∧ ¬q

คำตอบ

(r ∨ p) ∧ ¬q

ถ้าข้อสมมติทำให้เกิดข้อขัดแย้ง นัยนั้นต้องเป็นจริง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: r ∨ p

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

p = 1, q = 1, r = 1: r ∨ p = 1, r ∧ p = 1, ¬r = 0, q ∨ p = 1
p = 1, q = 1, r = 0: r ∨ p = 1, r ∧ p = 0, ¬r = 1, q ∨ p = 1
p = 1, q = 0, r = 1: r ∨ p = 1, r ∧ p = 1, ¬r = 0, q ∨ p = 1
p = 0, q = 0, r = 1: r ∨ p = 1, r ∧ p = 0, ¬r = 0, q ∨ p = 0

สรุป

r ∨ p (ความละเอียด)

คำตอบ

r ∨ p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B′C′ + A′BC + AB′C

แถวที่ F = 1

ABC = 000, 011, 101
N = 3

คำตอบ

N = 3
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

B′D′, B′C′, AD′, A′C′D, AB′
ABCD00011110000111101011031204X50706X12013015114X819X11X10

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = B′D′ + B′C′ + AD′
N = 3

คำตอบ

N = 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(77) = 60

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

77 = 7·11

โทเทียนต์

φ(77) = φ(7)·φ(11) = 6·10 = 60

คำตอบ

φ(77) = 60
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: c = 1193

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

การยกกำลังสองซ้ำ

17 = 16 + 1
271 ≡ 27 (mod 1333)
272 ≡ 729 (mod 1333)
274 ≡ 907 (mod 1333)
278 ≡ 188 (mod 1333)
2716 ≡ 686 (mod 1333)
2717 ≡ 27·686 ≡ 1193 (mod 1333)

ข้อความเข้ารหัส

c = 1193

คำตอบ

c = 1193
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าผลรวมน้อยเกินไปตัวชี้ซ้ายเลื่อนไปขวา ถ้ามากเกินไปตัวชี้ขวาเลื่อนไปซ้าย จึงมีไม่เกิน n ขั้น

คำตอบ

C · O(n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · อัลกอริทึมของ Kruskal

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Kruskal เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและเพิ่มเมื่อเชื่อมคนละส่วนประกอบ ส่วน Prim ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น

คำตอบ

D · อัลกอริทึมของ Kruskal
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

A · O(1)
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหมุนครั้งแรกเปลี่ยนกรณีซ้าย–ขวาเป็นซ้าย–ซ้าย ซึ่งการหมุนขวาที่โหนดไม่สมดุลแก้ได้

คำตอบ

A · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม AC

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BD (2)
2. AB (6)
3. AC (7)
4. DE (12)
5. DF (16)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

AC

คำตอบ

เส้นเชื่อม AC
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · SELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

COUNT(DISTINCT city) นับเมืองที่ไม่ซ้ำและไม่ใช่ NULL ส่วน DISTINCT นอก COUNT เพียงลบแถวผลลัพธ์ที่ซ้ำ

คำตอบ

D · SELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · การพึ่งพาเชิงฟังก์ชันบางอย่างอาจตรวจสอบภายในตารางเดียวไม่ได้อีกต่อไป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแยก BCNF แบบไม่สูญเสียมีอยู่เสมอ แต่อาจไม่รักษาการพึ่งพา ส่วน 3NF ทำได้ทั้งแบบไม่สูญเสียและรักษาการพึ่งพาเสมอ

คำตอบ

A · การพึ่งพาเชิงฟังก์ชันบางอย่างอาจตรวจสอบภายในตารางเดียวไม่ได้อีกต่อไป
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · GET ดึงทรัพยากร ส่วน POST ส่งข้อมูลในเนื้อหาของคำขอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

GET ขอทรัพยากรและไม่ควรเปลี่ยนสถานะของเซิร์ฟเวอร์ ส่วน POST ส่งข้อมูล เช่น แบบฟอร์ม ในเนื้อหาให้เซิร์ฟเวอร์ประมวลผล

คำตอบ

D · GET ดึงทรัพยากร ส่วน POST ส่งข้อมูลในเนื้อหาของคำขอ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: B · OSPF

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เราเตอร์ OSPF สร้างแผนที่เต็มของพื้นที่และคำนวณเส้นทางสั้นที่สุดด้วยอัลกอริทึมของ Dijkstra ส่วน RIP เป็นแบบเวกเตอร์ระยะทาง (distance-vector) และ BGP เป็นแบบเวกเตอร์เส้นทาง (path-vector)

คำตอบ

B · OSPF
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 30

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตที่ต้องยืม

23 = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

โฮสต์ต่อซับเน็ต

25 − 2 = 30

คำตอบ

H = 30
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 96

VLSM: แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่ 2ʰ − 2 ≥ จำนวนโฮสต์ของมัน คือพรีฟิกซ์ 32 − h การจัดสรรซับเน็ตที่ใหญ่ที่สุดก่อนทำให้ทุกบล็อกอยู่ในแนวพหุคูณของขนาดตัวเอง ที่อยู่เครือข่ายจึงได้จากการบวกขนาดบล็อก

ขนาดบล็อกของแต่ละ LAN

B: 33 โฮสต์ → 26 = 64 (/26)
C: 17 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
A: 11 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)
D: 7 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)
E: 6 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)

การจัดสรร จากใหญ่ที่สุดก่อน

B: .0 – .63
C: .64 – .95
A: .96 – .111
D: .112 – .127
E: .128 – .135

คำตอบ

x = 96

LAN A: 192.168.126.96/28

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals