พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −28 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −288 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1010 1001 AND 0110 1010 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

1010 1001AND0110 1010

R =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p))

N =

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

กำหนดสมมติฐาน q ∨ r; q → p; r → p บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

q ∨ rq → pr → p

1¬p
2q
3q ∧ r
4p

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15) มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15)

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ตัวนับขึ้นฐานสอง 4 บิต เริ่มที่ 11 (ฐานสิบ, Q = 1011) หลังพัลส์นาฬิกา 35 พัลส์ จะแสดงค่านับ Q (เป็นเลขฐานสิบ) เท่าใด

Q₀ = 1135n = 4

Q =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 9x ≡ 10 (mod 17) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 17

9x ≡ 10 (mod 17)

x =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 17 และ q = 43 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 23 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))

p = 17q = 43e = 23

d =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

AO(n²)
BO(log n)
CO(1)
DO(n)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดอัลกอริทึมของ Dijkstra จึงอาจให้ผลผิดเมื่อน้ำหนักเส้นเชื่อมบางเส้นติดลบ

Aใช้ได้กับกราฟไม่มีทิศทางเท่านั้น
Bจุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
Cตัวเลขติดลบเก็บในคิวลำดับความสำคัญไม่ได้
Dเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดทุกครั้งที่พบเส้นเชื่อมติดลบ

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์เต็ม (perfect binary tree) ที่มีความสูง h มีกี่โหนด เมื่อความสูงนับเป็นเส้นเชื่อม

A2^h
B2^h+1 − 1
C2h + 1
Dh²

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

Aคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
Bการหามัธยฐานใน O(1)
Cการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
Dการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K₄ มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K₄

H =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด E ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4

เริ่มต้น: Ek = 4

1เส้นเชื่อม AB
2เส้นเชื่อม AC
3เส้นเชื่อม BC
4เส้นเชื่อม BD
5เส้นเชื่อม CE
6เส้นเชื่อม DE
7เส้นเชื่อม EF
8เส้นเชื่อม GB
9เส้นเชื่อม GC
10เส้นเชื่อม GD
11เส้นเชื่อม GE

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

รูปแบบบรรทัดฐานที่สอง (2NF) ขจัด:

Aการพึ่งพาแบบถ่ายทอดระหว่างคอลัมน์ที่ไม่ใช่คีย์ผ่านคอลัมน์ที่ไม่ใช่คีย์อื่น
Bการพึ่งพาบางส่วนของคอลัมน์ที่ไม่ใช่คีย์ต่อส่วนหนึ่งของคีย์ประกอบ
Cคีย์นอก
Dค่า NULL ทั้งหมด

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

เหตุใด DBMS จำนวนมากจึงใช้ strict two-phase locking โดยถือล็อกแบบเอกสิทธิ์จนถึง commit?

Aทำให้ทรานแซกชันอ่านข้อมูล dirty ได้อย่างปลอดภัย
Bทำให้ deadlock เป็นไปไม่ได้
Cไม่ต้องใช้ล็อกของทรานแซกชัน
Dป้องกัน cascading abort เพราะไม่มีใครอ่านการเขียนที่ยังไม่ commit ได้

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เหตุใดสวิตช์บางครั้งจึงส่งเฟรมออกทุกพอร์ตยกเว้นพอร์ตที่เฟรมเข้ามา?

Aที่อยู่ MAC ปลายทางยังไม่อยู่ในตารางที่อยู่ของมัน
Bเฟรมใหญ่เกินกว่าจะส่งออกพอร์ตเดียว
Cสวิตช์กำลังทำหน้าที่เป็นเราเตอร์
Dเฟรมมีเช็กซัม IP ผิด และต้องให้ทุกโฮสต์ตรวจสอบ

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ตามสูตรของไนควิสต์ (Nyquist) อัตราบิตสูงสุดของช่องสัญญาณ 3 kHz ที่ไม่มีสัญญาณรบกวนและใช้ระดับสัญญาณ 4 ระดับคือเท่าใด?

A12 kbit/s
B6 kbit/s
C24 kbit/s
D3 kbit/s

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.255.224 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H

255.255.255.224

H =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.175.92/29 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด

10.20.175.92/29

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 228

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

28 = 0001 1100

ที่กลับบิตแล้ว: 1110 0011

+1 → 1110 0100

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1110 0100₂ = 256 − 28 = 228

คำตอบ

U = 228

2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 40

ทีละบิต

AND ให้ 1 เฉพาะที่ทั้งสองบิตเป็น 1

1010 1001

AND 0110 1010

= 0010 1000

ค่าของผลลัพธ์

0010 1000₂ = 40

คำตอบ

R = 40

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 5

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, p ∨ q = 1, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, p ∨ q = 1, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, p ∨ q = 1, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, p ∨ q = 1, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, p ∨ q = 1, r → p = 0, (p ∨ q) → (r → p) = 0, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, p ∨ q = 1, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, p ∨ q = 0, r → p = 0, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, p ∨ q = 0, r → p = 1, (p ∨ q) → (r → p) = 1, (r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)) = 1

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(r → q) ∧ ((p ∨ q) → (r → p)): 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1

N = 5

คำตอบ

N = 5

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: p

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p = 0, q = 1, q ∧ r = 1, p = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬p = 0, q = 1, q ∧ r = 0, p = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬p = 0, q = 0, q ∧ r = 0, p = 1

สรุป

p (การพิสูจน์แยกกรณี)

คำตอบ

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

จัดกลุ่ม 1

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

AC′

A′CD′

รูป SOP ที่น้อยที่สุด

F = BC + AD + AC′ + A′CD′

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: Q = 14

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

รอบเต็ม

ทุก 16 พัลส์ทำให้ตัวนับกลับสู่สถานะเดิม

35 = 2·16 + 3

ค่านับหลังพัลส์ที่เหลือ

Q = (11 + 3) mod 16 = 14

Q = 1110₂

คำตอบ

Q = 14

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 3

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 9

r = 17, t = 0

r = 9, q = 1, t = 1

r = 8, q = 1, t = −1

r = 1, q = 8, t = 2

9⁻¹ ≡ 2 (mod 17)

แก้สมการ

x ≡ 2·10 = 20 ≡ 3 (mod 17)

ตรวจสอบ: 9·3 = 27 ≡ 10 (mod 17)

คำตอบ

x = 3

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: d = 263

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

มอดูลัสและโทเทียนต์

n = 17·43 = 731

φ(n) = 16·42 = 672

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

r = 672, t = 0

r = 23, q = 29, t = 1

r = 5, q = 4, t = −29

r = 3, q = 1, t = 117

r = 2, q = 1, t = −146

r = 1, q = 2, t = 263

เลขชี้กำลังส่วนตัว

d = 263

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม BD

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. EF (7)

2. GE (14)

3. GD (10)

4. BD (3)

5. BC (4)

6. AC (2)

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s ระดับที่มากขึ้นเพิ่มอัตราได้ แต่สัญญาณรบกวนจำกัดจำนวนระดับที่แยกแยะได้

คำตอบ

A · 12 kbit/s

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 30

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ความยาวพรีฟิกซ์

255.255.255.224 = /27

โฮสต์ที่ใช้ได้

2⁵ − 2 = 30

คำตอบ

H = 30

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 88

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

2³ = 8

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊92/8⌋·8 = 88

บรอดคาสต์: 88 + 8 − 1 = 95

โฮสต์ที่ใช้ได้: 89 … 94

คำตอบ

x = 88

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals