พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

รูปแบบ 8 บิต 1011 1100 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1011 11008 bit

N =

2.ระบบเลขยาก

ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 512 × 512 พิกเซล และมี 8 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)

512 × 512 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)))

N =

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลคูณของผลบวก (POS) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 10, 11, 12) มีกี่พจน์ผลบวก (ตัวประกอบ) N

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 10, 11, 12)

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 11, 14, 15) + d(5, 9) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 11, 14, 15) + d(5, 9)

L =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(1083) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 1083 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 1083

n = 1083 = 3·19²

φ(1083) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

กุญแจ RSA ใช้ p = 5, q = 17 และ e = 11 จงถอดรหัสข้อความเข้ารหัส c = 67: หาข้อความ m

p = 5q = 17e = 11c = 67

m =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for j = 1 to i: ทำงาน O(1) คือเท่าใด

AO(n³)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีผู้พบอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-complete หนึ่งข้อ

Aเฉพาะปัญหานั้นปัญหาเดียวที่ย้ายเข้า P
Bปัญหาการหยุดจะตัดสินได้
Cอัลกอริทึมเวลาเอกซ์โพเนนเชียลทั้งหมดจะทำงานในเวลาเชิงเส้นทันที
Dทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

วิธีแก้การชนกันแบบใดเก็บคีย์ที่ชนกันไว้ในลิสต์ที่ถังเดียวกัน

Aการแฮชซ้อน (double hashing)
Bการตรวจสอบเชิงเส้น (linear probing)
Cการตรวจสอบกำลังสอง (quadratic probing)
Dการเชื่อมโซ่แยก (separate chaining)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

Bloom filter ตอบคำถาม "สมาชิกนี้อยู่ในเซตหรือไม่" ได้ด้วย

Aคำตอบสำหรับตัวเลขเท่านั้น
Bอาจมีผลลบเท็จ แต่ไม่มีผลบวกเท็จ
Cอาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
Dคำตอบที่แม่นยำเสมอ

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 6 จุดยอดและ 16 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 6|E| = 16

k =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 10

W =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

WHERE EXISTS (subquery) เป็นจริงสำหรับแถวเมื่อใด?

Aเมื่อซับคิวรีคืนอย่างน้อยหนึ่งแถว
Bเมื่อซับคิวรีคืนหนึ่งแถวพอดี
Cเมื่อซับคิวรีคืนตัวเลขที่มากกว่าศูนย์
Dเมื่อซับคิวรีไม่คืนค่า NULL

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

คะแนนคือ 90, 90 และ 80 RANK() OVER (ORDER BY score DESC) ให้ค่าใด?

A1, 1, 3
B2, 2, 3
C1, 2, 3
D1, 1, 2

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ซับเน็ตมาสก์ใดตรงกับ /20?

A255.255.240.0
B255.255.248.0
C255.255.224.0
D255.255.255.240

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เครือข่ายส่งมอบเนื้อหา (CDN) ปรับปรุงประสิทธิภาพเว็บเป็นหลักอย่างไร?

Aทำให้ไม่ต้องค้นหา DNS
Bให้บริการเนื้อหาที่แคชไว้จากเซิร์ฟเวอร์ที่อยู่ใกล้ผู้ใช้
Cแทนที่ TCP ด้วยโพรโทคอลชั้นทรานสปอร์ตที่เร็วกว่า
Dเพิ่มแบนด์วิดท์ของการเชื่อมต่อที่บ้านของผู้ใช้เอง

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.255.192 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H

255.255.255.192

H =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.235.132/26 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด

10.20.235.132/26

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −68

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 32 + 16 + 8 + 4 = −68

คำตอบ

N = −68

2.ระบบเลข

คำตอบ: M = 256 KiB

บิตและไบต์

512·512·8 = 2097152 bit = 262144 B

แปลงเป็น KiB

262144/1024 = 256 KiB

คำตอบ

M = 256 KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 1

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 1, ¬r = 0, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 1, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: q → r = 0, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 1, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 0, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 1, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 1, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 1, ¬r = 0, ¬r ∨ p = 0, p ∧ (¬r ∨ p) = 0, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 0, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q → r = 0, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 0, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 0, ¬r ∨ p = 0, p ∧ (¬r ∨ p) = 0, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q → r = 1, (q → r) ∧ q = 0, ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, p ∧ (¬r ∨ p) = 0, ((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p)) = 1, ¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))) = 0

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

¬(((q → r) ∧ q) → (p ∧ (¬r ∨ p))): 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

N = 1

คำตอบ

N = 1

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

คำตอบ

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

จัดกลุ่ม 0

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

(B′ + D′)

(B′ + C′)

(A + D)

(A′ + B + C)

รูป POS ที่น้อยที่สุด

F = (B′ + D′)(B′ + C′)(A + D)(A′ + B + C)

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 12

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

ACD, AB′D, A′BC′, AB′C′, ABC

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = ACD + A′BC′ + AB′C′ + ABC

L = 12

คำตอบ

L = 12

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(1083) = 684

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

1083 = 3·19²

โทเทียนต์

φ(1083) = φ(361)·φ(3) = 342·2 = 684

คำตอบ

φ(1083) = 684

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: m = 33

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังส่วนตัว

n = 85, φ(n) = 64

d = 11⁻¹ mod 64 = 35

ถอดรหัสด้วยการยกกำลังสองซ้ำ

35 = 32 + 2 + 1

67¹ ≡ 67 (mod 85)

67² ≡ 69 (mod 85)

67⁴ ≡ 1 (mod 85)

67⁸ ≡ 1 (mod 85)

67¹⁶ ≡ 1 (mod 85)

67³² ≡ 1 (mod 85)

67³⁵ ≡ 67·69·1 ≡ 33 (mod 85)

ข้อความ

m = 33

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

6 − 1 = 5

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 16 − 5 = 11

คำตอบ

k = 11

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 58

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (5): เลือก

GD (7): เลือก

DF (9): เลือก

CE (11): เลือก

B · ให้บริการเนื้อหาที่แคชไว้จากเซิร์ฟเวอร์ที่อยู่ใกล้ผู้ใช้

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 62

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ความยาวพรีฟิกซ์

255.255.255.192 = /26

โฮสต์ที่ใช้ได้

2⁶ − 2 = 62

คำตอบ

H = 62

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 128

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

2⁶ = 64

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊132/64⌋·64 = 128

บรอดคาสต์: 128 + 64 − 1 = 191

โฮสต์ที่ใช้ได้: 129 … 190

คำตอบ

x = 128

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals