ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −59 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −598 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ระบบต้องให้รหัสฐานสองความยาวเท่ากันแก่สิ่งของ 4545 ชิ้น ชิ้นละหนึ่งรหัส ต้องใช้อย่างน้อยกี่บิต b
4545
b = bit
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
(p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
กำหนดสมมติฐาน (c ∧ a) → b; c; ¬b บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น
(c ∧ a) → bc¬b
- 1¬a
- 2b
- 3a
- 4a ∧ ¬b
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 7) มีกี่พจน์ผลคูณ N
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 7)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 11, 13, 14) + d(5, 6, 9, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 11, 13, 14) + d(5, 6, 9, 15)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงแก้ 33x ≡ 26 (mod 35) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 35
33x ≡ 26 (mod 35)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
47 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 315809 mod 47
p = 47k = 15809
315809 mod 47 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่
- Aไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
- Bถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
- Cไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
- Dถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
เหตุใดการค้นหาเฉลี่ยในตารางแฮชจึงเป็น O(1) แต่กรณีเลวร้ายที่สุดเป็น O(n)
- Aอาร์เรย์เข้าถึงใน O(n)
- Bคีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
- Cฟังก์ชันแฮชช้า
- Dต้องเรียงคีย์ก่อน
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
คิวถูกสร้างด้วยสแตกสองตัว: push ลงสแตก "in" และ pop จากสแตก "out" โดยเติมจาก "in" เมื่อว่าง ต้นทุนกระจายต่อการดำเนินการคือเท่าใด
- AO(log n)
- BO(n²)
- CO(1)
- DO(n)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
Bloom filter ตอบคำถาม "สมาชิกนี้อยู่ในเซตหรือไม่" ได้ด้วย
- Aอาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
- Bคำตอบที่แม่นยำเสมอ
- Cอาจมีผลลบเท็จ แต่ไม่มีผลบวกเท็จ
- Dคำตอบสำหรับตัวเลขเท่านั้น
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ
|V| = 6|E| = 7
- 1วงจรออยเลอร์
- 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
- 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก
|V| = 6|E| = 8
W =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
SELECT SUM(amount) FROM orders คืนอะไรเมื่อ WHERE ไม่ตรงกับแถวใดเลย?
- Aข้อผิดพลาด
- B0
- CNULL
- Dสตริงว่าง
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
R(A, B, C, D) มีการพึ่งพาเชิงฟังก์ชัน A → B และ C → D คีย์ผู้สมัครคืออะไร?
- A{B, D}
- B{A, C}
- C{C}
- D{A}
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
อะไรระบุปลายด้านหนึ่งของการเชื่อมต่อ TCP บนอินเทอร์เน็ตได้อย่างไม่ซ้ำกัน?
- Aที่อยู่ IP ร่วมกับหมายเลขพอร์ต
- Bที่อยู่ MAC เพียงอย่างเดียว
- Cชื่อโดเมนเพียงอย่างเดียว
- Dซับเน็ตมาสก์และเกตเวย์
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
เหตุใดจึงมีการเพิ่มตัวเลือกการปรับสเกลหน้าต่าง (window scale) ของ TCP?
- AUDP ต้องมีวิธีควบคุมอัตราการส่งบนเส้นทางที่คับคั่ง
- Bฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
- Cหากไม่มี TCP จะตรวจจับเซกเมนต์ที่สูญหายบนลิงก์ระยะไกลไม่ได้
- Dฟิลด์หน้าต่าง 32 บิตใหญ่เกินไปและสิ้นเปลืองพื้นที่ส่วนหัวในทุกเซกเมนต์ TCP ที่ส่ง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.252.0 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H
255.255.252.0
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
เราเตอร์มีเส้นทางไปยังเครือข่ายเหล่านี้: 10.43.82.0/24, 10.43.83.0/24 ความยาวพรีฟิกซ์ยาวที่สุด p ของเส้นทางสรุปเส้นเดียวที่ครอบคลุมทั้งหมดคือเท่าใด
10.43.82.0/24 … 10.43.83.0/24
p =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 197
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
59 = 0011 1011
ที่กลับบิตแล้ว: 1100 0100
+1 → 1100 0101
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1100 0101₂ = 256 − 59 = 197
คำตอบ
U = 197
2.ระบบเลข
คำตอบ: b = 13 bit
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
กำลังของสอง
212 = 4096 < 4545
213 = 8192 ≥ 4545
คำตอบ
b = 13
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 5
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 1, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ r = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 1, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 0, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ r = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 0, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 1, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ r = 0, ¬p = 1, ¬p → r = 0, (¬p → r) ∧ q = 0, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 1, (¬p → r) ∧ q = 0, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ r = 0, ¬p = 1, ¬p → r = 0, (¬p → r) ∧ q = 0, (p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q) = 1
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
(p ∨ r) → ((¬p → r) ∧ q): 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1
N = 5
คำตอบ
N = 5
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ¬a
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง
a = 0, b = 0, c = 1: ¬a = 1, b = 0, a = 0, a ∧ ¬b = 0
สรุป
¬a (โมดัสโทลเลนส์กับคอนจังก์ชัน)
คำตอบ
¬a
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 3
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 1
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
C
A′B′
AB
รูป SOP ที่น้อยที่สุด
F = C + A′B′ + AB
N = 3
คำตอบ
N = 3
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 4
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
B′C′D′, BC′D, BCD′, AD, A′CD′, A′B′D′, AB′C′, ABC
การครอบคลุมที่น้อยที่สุด
F = B′C′D′ + BCD′ + AD + A′CD′
N = 4
คำตอบ
N = 4
มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 22
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ตัวผกผันของ 33
r = 35, t = 0
r = 33, q = 1, t = 1
r = 2, q = 16, t = −1
r = 1, q = 2, t = 17
33−1 ≡ 17 (mod 35)
แก้สมการ
x ≡ 17·26 = 442 ≡ 22 (mod 35)
ตรวจสอบ: 33·22 = 726 ≡ 26 (mod 35)
คำตอบ
x = 22
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 315809 mod 47 = 28
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
ลดเลขชี้กำลัง
15809 mod 46 = 31
315809 ≡ 331 (mod 47)
เลขยกกำลังขนาดเล็ก
331 mod 47 = 28
คำตอบ
315809 mod 47 = 28
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน
คำตอบ
B · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
เมื่อมีฟังก์ชันแฮชที่ดีและตัวประกอบการโหลดเหมาะสม ถังจะสั้นโดยเฉลี่ย แต่การโจมตีหรือแฮชที่แย่อาจทำให้ทุกคีย์ไปอยู่ในถังเดียว
คำตอบ
B · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · O(1)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
แต่ละสมาชิกถูก push และ pop ไม่เกินสองครั้งรวม แม้การเติมหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) ค่าเฉลี่ยตลอดลำดับเป็น O(1)
คำตอบ
C · O(1)
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · อาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ถ้าบิตใดของรายการเป็น 0 รายการนั้นไม่อยู่แน่นอน ถ้าทั้งหมดเป็น 1 น่าจะอยู่ Bloom filter แลกความแม่นยำกับหน่วยความจำที่น้อยมาก
คำตอบ
A · อาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: วงจรออยเลอร์
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
ดีกรี
deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2
จุดยอดคี่
0
วงจรออยเลอร์
คำตอบ
วงจรออยเลอร์
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: W = 37
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ขั้นตอนวิธีของครัสคัล
DF (3): เลือก
BE (5): เลือก
DE (6): เลือก
BC (9): เลือก
BD (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AB (14): เลือก
น้ำหนักรวม
W = 3 + 5 + 6 + 9 + 14 = 37
คำตอบ
W = 37
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: C · NULL
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
SUM, AVG, MIN และ MAX คืน NULL เมื่อเซตว่าง ส่วน COUNT คืน 0 COALESCE(SUM(amount), 0) ให้ 0 แทน
คำตอบ
C · NULL
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: B · {A, C}
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
A และ C ไม่ถูกกำหนดโดยสิ่งใด ทุกคีย์จึงต้องมีทั้งสอง และ {A, C}+ = {A, B, C, D}
คำตอบ
B · {A, C}
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · ที่อยู่ IP ร่วมกับหมายเลขพอร์ต
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การเชื่อมต่อ TCP ระบุด้วย IP และพอร์ตต้นทาง บวก IP และพอร์ตปลายทาง พอร์ตแยกแอปพลิเคชันจำนวนมากบนโฮสต์เดียว
คำตอบ
A · ที่อยู่ IP ร่วมกับหมายเลขพอร์ต
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ส่วนหัวเดิมรองรับข้อมูลที่ยังไม่ได้รับการตอบรับได้สูงสุด 65,535 ไบต์ การปรับสเกลหน้าต่างคูณค่านี้ด้วยกำลังของสองเพื่อให้เติมเส้นทางที่มีผลคูณแบนด์วิดท์–ความล่าช้าสูงได้
คำตอบ
B · ฟิลด์หน้าต่าง 16 บิตจำกัดหน้าต่างไว้ที่ 65,535 ไบต์ ซึ่งเล็กเกินไปสำหรับเส้นทางไกลที่เร็ว
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 1022
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ความยาวพรีฟิกซ์
255.255.252.0 = /22
โฮสต์ที่ใช้ได้
210 − 2 = 1022
คำตอบ
H = 1022
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: p = 23
การสรุปเส้นทาง: เส้นทางสรุป a.b.c.0/p ครอบคลุมทุกเครือข่ายที่ p บิตแรกตรงกัน เขียนออกเท็ตที่ต่างกันของเครือข่ายแรกและสุดท้ายเป็นเลขฐานสอง จำนวนบิตนำหน้าที่ตรงกัน บวกบิตของออกเท็ตก่อนหน้า คือพรีฟิกซ์สรุปที่ยาวที่สุด
เทียบบิต
82 = 01010010
83 = 01010011
บิตนำหน้าที่ตรงกัน: 7
ความยาวพรีฟิกซ์
p = 16 + 7 = 23
คำตอบ
p = /23
เส้นทางสรุป: 10.43.82.0/23
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals