พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต?−128?64?32?16?8?4?2?1

เขียน −93 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −938 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
32 bit1 px1920 px1080 pxM = ? KiB

ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 1920 × 1080 พิกเซล และมี 32 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)

1920 × 1080 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
¬r → ¬q¬q ∧ ¬r¬q → ¬rq → r

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ r → q ให้คลิกสูตรนั้น

r → q
  1. 1¬r → ¬q
  2. 2¬q ∧ ¬r
  3. 3¬q → ¬r
  4. 4q → r
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))
  3. 3∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))
  4. 4∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD00011110000111101111

ในแผนที่คาร์โนห์นี้มี 1 เพียงตัวเดียวพอดีที่ไม่มี 1 อยู่ติดกัน จึงยังเป็นกลุ่มหนึ่งเซลล์ (มินเทอมเต็มที่มีสี่ลิเทอรัล) ในรูป SOP ที่น้อยที่สุด เพื่อนบ้านข้ามขอบแผนที่นับด้วย ให้คลิกเซลล์นั้น

F = Σm(2, 4, 8, 12)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD000111100001111010X11302X405X706112X131150141819X11010

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 8, 9, 12, 15) + d(1, 4, 7, 11, 13) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 8, 9, 12, 15) + d(1, 4, 7, 11, 13)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 58 มอดูโล 79: จำนวน x ที่ 0 < x < 79 และ 58·x ≡ 1 (mod 79)

a = 58n = 79
58−1 mod 79 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
448c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (473, 13)d

เข้ารหัสข้อความ m = 448 ด้วยกุญแจสาธารณะ RSA (n, e) = (473, 13) จงหาข้อความเข้ารหัส c

n = 473e = 13m = 448
c =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมของ Prim สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดอย่างไร

  1. Aขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้
  2. Bรัน BFS และเก็บต้นไม้ BFS ไว้
  3. Cลบเส้นเชื่อมที่แพงที่สุดจนไม่เหลือวงจร
  4. Dเรียงเส้นเชื่อมทั้งหมดตามน้ำหนักและเพิ่มทีละเส้น เว้นแต่จะก่อวงจรในป่า
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เทคนิคใดให้เวลาทำงานคาดหมาย O(n log n) ของ quicksort กับอินพุตใด ๆ

  1. Aเลือกสมาชิกตัวแรกเสมอ
  2. Bเรียงอินพุตก่อนรัน quicksort
  3. Cเรียกซ้ำเฉพาะฝั่งซ้าย
  4. Dเลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aลูกขวาของมันเสมอ
  2. Bโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
  3. Cโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
  4. Dแม่ของมันเสมอ
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Aอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
  2. Bคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  3. Cmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
  4. Dmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
915278372ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers คืนอะไรสำหรับลูกค้าที่ phone เป็น NULL?

  1. ANULL
  2. B'unknown'
  3. Cข้อผิดพลาด
  4. Dสตริงว่าง
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

การล็อกสองระยะ (two-phase locking, 2PL) รับประกัน:

  1. Aว่าทรานแซกชันไม่ต้องรอเลย
  2. Bว่า deadlock ไม่มีทางเกิดขึ้น
  3. Cตารางเวลาที่ conflict-serializable
  4. Dว่าไม่ต้องใช้ล็อก
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เบราว์เซอร์ได้รับรหัสสถานะ HTTP 404 หมายความว่าอย่างไร?

  1. Aคำขอสำเร็จ
  2. Bไคลเอนต์ต้องล็อกอินก่อน
  3. Cเซิร์ฟเวอร์เกิดข้อผิดพลาดภายใน
  4. Dไม่พบทรัพยากรที่ขอ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

กลไกใดป้องกันลูปบรอดแคสต์ในเครือข่ายที่มีลิงก์สวิตช์สำรอง?

  1. Aการแคช ARP
  2. BNAT
  3. CDHCP snooping
  4. DSpanning Tree Protocol
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2711111111111111111111111111100000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 6 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/246 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออกเท็ตที่สาม = 119012816413211608141211เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.119.115/18 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่เครือข่ายของมันคือเท่าใด

172.20.119.115/18
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 163

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

93 = 0101 1101
ที่กลับบิตแล้ว: 1010 0010
+1 → 1010 0011

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1010 0011₂ = 256 − 93 = 163

คำตอบ

U = 163
2.ระบบเลข

คำตอบ: M = 8100 KiB

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บิตและไบต์

1920·1080·32 = 66355200 bit = 8294400 B

แปลงเป็น KiB

8294400/1024 = 8100 KiB

คำตอบ

M = 8100 KiB
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬q → ¬r

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

นัยสมมูลกับการแย้งสลับที่ ¬b → ¬a ไม่ใช่กับคอนเวิร์ส b → a หรืออินเวิร์ส ¬a → ¬b
r → q ≡ ¬q → ¬r

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

q = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1
q = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0
q = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 1
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

คำตอบ

¬q → ¬r

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

คำตอบ

∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: AB = 00, CD = 10

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

เพื่อนบ้านของแต่ละ 1

1 ที่มี 1 อยู่ติดกันเข้ากลุ่มสองเซลล์หรือมากกว่าได้

m2: m3, m0, m6, m10 → 0
ABCD00011110000111101111

1 ที่อยู่โดดเดี่ยว

m2 = A′B′CD′ → AB = 00, CD = 10

คำตอบ

AB = 00, CD = 10
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 6

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

C′D′, CD, B′D, B′C′, AD, AC′
ABCD000111100001111010X11302X405X706112X131150141819X11010

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = C′D′ + CD + B′D
L = 6

คำตอบ

L = 6

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 58−1 mod 79 = 15

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·58 (mod 79)

r = 79, t = 0
r = 58, q = 1, t = 1
r = 21, q = 2, t = −1
r = 16, q = 1, t = 3
r = 5, q = 3, t = −4
r = 1, q = 5, t = 15

อินเวอร์ส

1 ≡ 15·58 (mod 79)
x = 15
ตรวจสอบ: 58·15 = 870 = 11·79 + 1

คำตอบ

58−1 mod 79 = 15
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: c = 72

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

การยกกำลังสองซ้ำ

13 = 8 + 4 + 1
4481 ≡ 448 (mod 473)
4482 ≡ 152 (mod 473)
4484 ≡ 400 (mod 473)
4488 ≡ 126 (mod 473)
44813 ≡ 448·400·126 ≡ 72 (mod 473)

ข้อความเข้ารหัส

c = 72

คำตอบ

c = 72
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมของ Prim ที่ใช้คิวลำดับความสำคัญของเส้นเชื่อมที่ข้ามขอบเขตทำงานใน O(E log V) เมื่อใช้ฮีปไบนารี

คำตอบ

A · ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักแบบสุ่ม เวลาทำงานคาดหมายเป็น O(n log n) สำหรับทุกอินพุต กรณีแย่ยังมีอยู่แต่เกิดขึ้นได้น้อยมาก

คำตอบ

D · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

C · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 9, C: 15
2. B (9): C: 11, D: 16
3. C (11): E: 19
4. D (16): F: 23
5. E (19): F: 21
6. F (21)

รอบ 5

E

คำตอบ

E
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: B · 'unknown'

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

COALESCE ตรวจอาร์กิวเมนต์จากซ้ายไปขวาและคืนตัวแรกที่ไม่ใช่ NULL ในที่นี้คือ 'unknown'

คำตอบ

B · 'unknown'
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: C · ตารางเวลาที่ conflict-serializable

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

2PL รับประกัน serializability แต่ deadlock ยังเกิดได้และต้องตรวจจับหรือป้องกัน

คำตอบ

C · ตารางเวลาที่ conflict-serializable
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · ไม่พบทรัพยากรที่ขอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

404 Not Found หมายความว่าเซิร์ฟเวอร์ไม่มีทรัพยากรที่ URL นั้น 200 คือ OK, 401 คือ Unauthorized และ 500 คือ Internal Server Error

คำตอบ

D · ไม่พบทรัพยากรที่ขอ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · Spanning Tree Protocol

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

STP เลือกรูทบริดจ์ (root bridge) และบล็อกเส้นทางสำรอง ปลดบล็อกเมื่อลิงก์ที่ใช้งานอยู่ล้มเหลว

คำตอบ

D · Spanning Tree Protocol
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 30

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตที่ต้องยืม

23 = 8 ≥ 6 → b = 3, /27

โฮสต์ต่อซับเน็ต

25 − 2 = 30

คำตอบ

H = 30
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

26 = 64

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.64.0
บรอดคาสต์: 172.20.127.255

คำตอบ

x = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals