พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −12 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −128 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 640 × 480 พิกเซล และมี 32 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)

640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q)

N =

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน q → (p ∨ r); q และบทสรุป p ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

q → (p ∨ r)q∴ p

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 1, I₁ = 0, I₂ = 0, I₃ = 1 จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = 1I₁ = 0I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ตัวนับจอห์นสัน 4 บิต Q₃Q₂Q₁Q₀ เริ่มที่ 0000 ทุกขอบสัญญาณนาฬิกา บิตเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) และ Q₃ รับค่ากลับของ Q₀ จงหาสถานะ Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ เป็นเลขฐานสิบหลัง 7 ขอบสัญญาณนาฬิกา

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00007

Q =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(1859) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 1859 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 1859

n = 1859 = 11·13²

φ(1859) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

26x ≡ 20 (mod 50) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 49}

26x ≡ 20 (mod 50)

N =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึม Floyd–Warshall คำนวณอะไรและเร็วเพียงใด

Aลำดับทอพอโลยีใน O(V²)
Bเส้นทางสั้นที่สุดจากจุดยอดต้นทางหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นทั้งหมดใน O(V + E)
Cเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)
Dต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดใน O(E log V)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + n log n มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

AΘ(n²)
BΘ(n log² n)
CΘ(n log n)
DΘ(n)

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

AO(1)
BO(V)
CO(log V)
DO(E)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

การลบโหนดที่มีลูกสองตัวจาก binary search tree มักทำโดย

Aสลับกับราก
Bแทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
Cสร้างต้นไม้ย่อยที่อยู่ใต้โหนดนั้นขึ้นใหม่ทั้งหมดแล้วแทรกคีย์ทุกตัวที่เคยมีอยู่ลงไปใหม่
Dลบต้นไม้ย่อยทั้งหมด

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 5, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 33 × deg 53 × deg 2

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กความยาว 3 จาก B ไป F กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3

N =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers คืนอะไรสำหรับลูกค้าที่ phone เป็น NULL?

Aข้อผิดพลาด
BNULL
C'unknown'
Dสตริงว่าง

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

EXPLAIN (หรือ EXPLAIN ANALYZE ใน PostgreSQL) แสดงอะไรสำหรับคิวรี?

Aความหมายของแต่ละคีย์เวิร์ด SQL ในคิวรี
Bรายชื่อผู้ใช้ที่รันคิวรี
Cการเขียนคิวรีใหม่ในสัญกรณ์พีชคณิตเชิงสัมพันธ์เท่านั้น
Dแผนการประมวลผลที่ตัวปรับแต่งเลือก เช่น การสแกนและวิธีเชื่อม

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ฟิลด์ใดในส่วนหัว IPv4 ป้องกันไม่ให้แพ็กเก็ตวนไปมาตลอดไปในลูปการกำหนดเส้นทาง?

AHeader checksum
BIdentification
CType of service
DTime to live (TTL)

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

หลังเกิดการชนซ้ำ ๆ สถานีอีเทอร์เน็ตแบบดั้งเดิมเลือกเวลารอจากช่วงที่เพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้ง เพราะเหตุใด?

Aเพื่อซิงโครไนซ์ทุกสถานีกับนาฬิกาเดียว
Bเพื่อให้สายเคเบิลส่งสัญญาณไปได้ไกลขึ้น
Cเพื่อให้สถานีที่มีที่อยู่ MAC สูงสุดมีลำดับความสำคัญบนสายที่ใช้ร่วมกัน
Dเพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 10.91.196.0/22 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันด้วยพรีฟิกซ์ /27 มีกี่ซับเน็ต N

10.91.196.0/22/27

N =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เราเตอร์มีเส้นทางไปยังเครือข่ายเหล่านี้: 10.136.202.0/24, 10.136.203.0/24, 10.136.204.0/24, 10.136.205.0/24, 10.136.206.0/24, 10.136.207.0/24, 10.136.208.0/24, 10.136.209.0/24 ความยาวพรีฟิกซ์ยาวที่สุด p ของเส้นทางสรุปเส้นเดียวที่ครอบคลุมทั้งหมดคือเท่าใด

10.136.202.0/24 … 10.136.209.0/24

p =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 244

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

12 = 0000 1100

ที่กลับบิตแล้ว: 1111 0011

+1 → 1111 0100

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1111 0100₂ = 256 − 12 = 244

คำตอบ

U = 244

2.ระบบเลข

คำตอบ: M = 1200 KiB

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บิตและไบต์

640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B

แปลงเป็น KiB

1228800/1024 = 1200 KiB

คำตอบ

M = 1200 KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 2

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 1, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 1, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 0, r → q = 0, ¬(r → q) = 1, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 0, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 1, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ r = 0, q ↔ (p ∨ r) = 0, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, q ↔ (p ∨ r) = 0, r → q = 0, ¬(r → q) = 1, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ r = 0, q ↔ (p ∨ r) = 1, r → q = 1, ¬(r → q) = 0, (q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q) = 0

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

(q ↔ (p ∨ r)) ↔ ¬(r → q): 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0

N = 2

คำตอบ

N = 2

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: p = 0, q = 1, r = 1

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0

ตัวอย่างค้าน

p = 0, q = 1, r = 1

คำตอบ

p = 0, q = 1, r = 1

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B′ + AB

แถวที่ F = 1

ABC = 000, 001, 110, 111

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: Q = 1

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

สถานะหลังทุกขอบ

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001

ค่าฐานสิบ

0001₂ = 1

คำตอบ

Q = 1

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(1859) = 1560

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

1859 = 11·13²

โทเทียนต์

φ(1859) = φ(169)·φ(11) = 156·10 = 1560

คำตอบ

φ(1859) = 1560

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 2

หารด้วย gcd

gcd(26, 50) = 2

13x ≡ 10 (mod 25)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

13⁻¹ ≡ 2 (mod 25) → x ≡ 20 (mod 25)

คำตอบมอดูโล 50

x ∈ {20, 45}

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 33 = 2(L + 10) − 2

L = 15

คำตอบ

L = 15

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 0 1 0 0 0

B: 0 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D · เพื่อลดโอกาสที่จะชนกันอีกเมื่อมีหลายสถานีแข่งกัน

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

บิตที่ยืมมา

27 − 22 = 5

จำนวนซับเน็ต

N = 2⁵ = 32

คำตอบ

N = 32

แต่ละซับเน็ต /27 มีโฮสต์ที่ใช้ได้ 2⁵ − 2 = 30 โฮสต์

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 19

การสรุปเส้นทาง: เส้นทางสรุป a.b.c.0/p ครอบคลุมทุกเครือข่ายที่ p บิตแรกตรงกัน เขียนออกเท็ตที่ต่างกันของเครือข่ายแรกและสุดท้ายเป็นเลขฐานสอง จำนวนบิตนำหน้าที่ตรงกัน บวกบิตของออกเท็ตก่อนหน้า คือพรีฟิกซ์สรุปที่ยาวที่สุด

เทียบบิต

202 = 11001010

209 = 11010001

บิตนำหน้าที่ตรงกัน: 3

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 16 + 3 = 19

คำตอบ

p = /19

เส้นทางสรุป: 10.136.192.0/19 (ครอบคลุมเครือข่าย 24 เครือข่ายที่ไม่อยู่ในรายการด้วย)

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals