พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −15 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −158 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 24 บิตคือเท่าใด

24 bit

N =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p)

N =

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ ¬(¬(¬s → q) ∨ (p → (¬q ∧ r))) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

¬(¬(¬s → q) ∨ (p → (¬q ∧ r)))

N =

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ในแผนที่คาร์โนห์นี้มี 1 เพียงตัวเดียวพอดีที่ไม่มี 1 อยู่ติดกัน จึงยังเป็นกลุ่มหนึ่งเซลล์ (มินเทอมเต็มที่มีสี่ลิเทอรัล) ในรูป SOP ที่น้อยที่สุด เพื่อนบ้านข้ามขอบแผนที่นับด้วย ให้คลิกเซลล์นั้น

F = Σm(3, 5, 12, 13, 14, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ตัวนับจอห์นสัน 4 บิต Q₃Q₂Q₁Q₀ เริ่มที่ 0000 ทุกขอบสัญญาณนาฬิกา บิตเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) และ Q₃ รับค่ากลับของ Q₀ จงหาสถานะ Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ เป็นเลขฐานสิบหลัง 7 ขอบสัญญาณนาฬิกา

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00007

Q =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(49) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 49 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 49

n = 49 = 7²

φ(49) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 11¹⁸⁸ mod 58

a = 11k = 188n = 58

11¹⁸⁸ mod 58 =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึม Bellman–Ford บนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

AO(V × E)
BO(E log V)
CO(V³ × E)
DO(V + E)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาการหยุด (halting problem) แสดงว่า

Aไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
Bบางโปรแกรมทำงานเร็วขึ้นบนคอมพิวเตอร์ที่เร็วกว่า การหยุดจึงขึ้นอยู่กับฮาร์ดแวร์
Cควรหลีกเลี่ยงลูป
Dทุกโปรแกรมจะหยุดในที่สุด

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

แทรกคีย์ 50, 30, 70, 20, 40 ตามลำดับนี้ลงใน binary search tree ว่าง ลูกซ้ายของ 30 คืออะไร

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

Aการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
Bการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
Cคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
Dการหามัธยฐานใน O(1)

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 3

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กความยาว 2 จาก B ไป E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2

N =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับ HAVING ถูกต้อง?

Aใช้เรียงลำดับผลลัพธ์
Bต้องมาก่อน WHERE ในคำสั่ง SELECT
Cใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
Dใช้ร่วมกับ GROUP BY ไม่ได้

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

คิวรี FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' ตัดลูกค้าที่ไม่มีคำสั่งซื้อออกโดยไม่คาดคิด เพราะเหตุใด?

Aการเชื่อมควรใช้ USING แทน ON
BLEFT JOIN ไม่เก็บแถวที่ไม่ตรงกัน
Cstatus เป็นคำสงวน
Dเงื่อนไข WHERE บน o ปฏิเสธแถวที่เติม NULL ทำให้กลายเป็น inner join

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

พรีฟิกซ์เดียวใดสรุปรวมทั้ง 192.168.0.0/24 และ 192.168.1.0/24 ได้?

A192.168.0.0/22
B192.168.0.0/25
C192.168.0.0/23
D192.168.1.0/23

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เครือข่ายส่งมอบเนื้อหา (CDN) ปรับปรุงประสิทธิภาพเว็บเป็นหลักอย่างไร?

Aแทนที่ TCP ด้วยโพรโทคอลชั้นทรานสปอร์ตที่เร็วกว่า
Bให้บริการเนื้อหาที่แคชไว้จากเซิร์ฟเวอร์ที่อยู่ใกล้ผู้ใช้
Cเพิ่มแบนด์วิดท์ของการเชื่อมต่อที่บ้านของผู้ใช้เอง
Dทำให้ไม่ต้องค้นหา DNS

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 821 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

821 hosts

p =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.225.10/23 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่เครือข่ายของมันคือเท่าใด

172.20.225.10/23

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 241

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

15 = 0000 1111

ที่กลับบิตแล้ว: 1111 0000

+1 → 1111 0001

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

คำตอบ

U = 241

2.ระบบเลข

คำตอบ: N = −8.389 × 10⁶

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

ค่าที่ติดลบมากที่สุด

−2²³ = −8388608

คำตอบ

N = −8388608

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 7

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1, r = 1: q → r = 1, ¬p = 0, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q → r = 0, ¬p = 0, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 0, r ∨ ¬p = 0, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q → r = 1, ¬p = 0, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: q → r = 1, ¬p = 0, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 0, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: q → r = 1, ¬p = 1, q ∧ ¬p = 1, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q → r = 0, ¬p = 1, q ∧ ¬p = 1, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: q → r = 1, ¬p = 1, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: q → r = 1, ¬p = 1, q ∧ ¬p = 0, (q → r) ∨ (q ∧ ¬p) = 1, r ∨ ¬p = 1, ((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p) = 1

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

((q → r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ (r ∨ ¬p): 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N = 7

คำตอบ

N = 7

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 5

คอลัมน์

¬s; ¬s → q; ¬(¬s → q); ¬q; ¬q ∧ r; p → (¬q ∧ r); ¬(¬s → q) ∨ (p → (¬q ∧ r)); ¬(¬(¬s → q) ∨ (p → (¬q ∧ r)))

แยกตาม p

p = 1: 5

p = 0: 0

N = 5 + 0 = 5

คำตอบ

N = 5

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: AB = 00, CD = 11

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

เพื่อนบ้านของแต่ละ 1

เลขชี้กำลังฐานสอง

188 = 10111100₂ = 128 + 32 + 16 + 8 + 4

การยกกำลังสองซ้ำ

11¹ ≡ 11 (mod 58)

11² ≡ 5 (mod 58)

11⁴ ≡ 25 (mod 58)

11⁸ ≡ 45 (mod 58)

11¹⁶ ≡ 53 (mod 58)

C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 6

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 12 = 2(L + 4) − 2

L = 6

คำตอบ

L = 6

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 0 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

B · ให้บริการเนื้อหาที่แคชไว้จากเซิร์ฟเวอร์ที่อยู่ใกล้ผู้ใช้

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 22

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

2⁹ − 2 = 510 < 821

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 821 → h = 10

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 10 = 22

คำตอบ

p = /22

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 224

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2¹ = 2

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.224.0

บรอดคาสต์: 172.20.225.255

คำตอบ

x = 224

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals