พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต0−12806403201608040201

ตั้งบิตให้เก็บ −65 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −658 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
คลิกบิตเพื่อตั้งค่า012806403201608040201

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1100 1001 << 2 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

1100 1001<< 2
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ซ้ำซ้อน (tautology)ขัดแย้ง (contradiction)contingency

(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ

(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)
  1. 1ซ้ำซ้อน (tautology)
  2. 2ขัดแย้ง (contradiction)
  3. 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
abca → cb → ca → b111110101100011010001000

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน a → c; b → c และบทสรุป a → b ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

a → cb → c∴ a → b
  1. 1a = 1, b = 1, c = 1
  2. 2a = 1, b = 1, c = 0
  3. 3a = 1, b = 0, c = 1
  4. 4a = 1, b = 0, c = 0
  5. 5a = 0, b = 1, c = 1
  6. 6a = 0, b = 1, c = 0
  7. 7a = 0, b = 0, c = 1
  8. 8a = 0, b = 0, c = 0
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
MUXCI0​1I1​1I2​C′I3​ABS1​S0​F

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = C, I₁ = 1, I₂ = 1, I₃ = C′ จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = CI₁ = 1I₂ = 1I₃ = C′
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
CLKJK1234567

ฟลิปฟล็อป JK ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดง ให้คลิกขอบสัญญาณนาฬิกาแรกที่ Q เปลี่ยนจาก 1 กลับเป็น 0

Q₀ = 0JK
  1. 1ขอบสัญญาณนาฬิกา 1
  2. 2ขอบสัญญาณนาฬิกา 2
  3. 3ขอบสัญญาณนาฬิกา 3
  4. 4ขอบสัญญาณนาฬิกา 4
  5. 5ขอบสัญญาณนาฬิกา 5
  6. 6ขอบสัญญาณนาฬิกา 6
  7. 7ขอบสัญญาณนาฬิกา 7
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 12x ≡ 13 (mod 19) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 19

12x ≡ 13 (mod 19)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

จงแก้ 36x ≡ 12 (mod 48) ให้คำตอบที่เป็นบวกและน้อยที่สุด x

36x ≡ 12 (mod 48)
x =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมของ Prim สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดอย่างไร

  1. Aเรียงเส้นเชื่อมทั้งหมดตามน้ำหนักและเพิ่มทีละเส้น เว้นแต่จะก่อวงจรในป่า
  2. Bลบเส้นเชื่อมที่แพงที่สุดจนไม่เหลือวงจร
  3. Cรัน BFS และเก็บต้นไม้ BFS ไว้
  4. Dขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้องแสดงสองสิ่งใดเพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาการตัดสินใจ X เป็น NP-complete

  1. AX ลดรูปไปเป็นปัญหาใน P และ X อยู่ใน NP
  2. BX ไม่มีอัลกอริทึมพหุนาม และ X ตัดสินได้
  3. CX อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
  4. DX อยู่ใน P และ X ลดรูปไปเป็น SAT
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai/2 และ i/2 + 1
  2. B2i + 1 และ 2i + 2
  3. Ci + 1 และ i + 2
  4. D2i และ 2i + 1
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

Bloom filter ตอบคำถาม "สมาชิกนี้อยู่ในเซตหรือไม่" ได้ด้วย

  1. Aอาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
  2. Bคำตอบที่แม่นยำเสมอ
  3. Cอาจมีผลลบเท็จ แต่ไม่มีผลบวกเท็จ
  4. Dคำตอบสำหรับตัวเลขเท่านั้น
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 54 × deg 2
L =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
4141451315151592ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 6 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คีย์นอกถูกประกาศด้วย ON DELETE CASCADE เกิดอะไรขึ้นเมื่อแถวแม่ถูกลบ?

  1. Aคีย์นอกในแถวลูกถูกตั้งเป็น NULL โดยอัตโนมัติ
  2. Bแถวแม่ถูกคัดลอกไปยังตารางเก็บถาวร
  3. Cการลบถูกปฏิเสธเสมอ
  4. Dแถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง b มีค่า 1, 2 และ NULL ในคอลัมน์ y SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) คืนอะไร?

  1. Aไม่มีแถวเลย
  2. Bเฉพาะแถวของ a ที่ x เป็น NULL
  3. Cทุกแถวของ a
  4. Dแถวของ a ที่ x ไม่ใช่ 1 หรือ 2
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

จุดประสงค์ของการแฮนด์เชก (handshake) สามทางของ TCP คืออะไร?

  1. Aเพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
  2. Bเพื่อเข้ารหัสข้อมูล
  3. Cเพื่อปิดการเชื่อมต่ออย่างรวดเร็ว
  4. Dเพื่อหาที่อยู่ IP ของโฮสต์ก่อนที่จะส่งข้อมูลไปถึงโฮสต์นั้นได้
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

สถานี A และ C เข้าถึงแอ็กเซสพอยต์ B ได้ทั้งคู่ แต่ได้ยินกันไม่ได้ เฟรมของทั้งสองจึงชนกันที่ B 802.11 ช่วยได้อย่างไร?

  1. Aโดยให้ A และ C ใช้การตรวจจับการชนเพื่อหยุดส่งเมื่อเฟรมทับซ้อนกัน
  2. Bโดยเพิ่มค่า TTL ของเฟรม
  3. Cโดยกำหนดเส้นทางเฟรมของ A ผ่าน C
  4. Dการแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /3011111111111111111111111111111100บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 10.220.220.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันด้วยพรีฟิกซ์ /30 มีกี่ซับเน็ต N

10.220.220.0/24/30
N =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

เครือข่าย 192.168.54.0/24 ถูกแบ่งด้วย VLSM สำหรับ LAN เหล่านี้: A: 10 โฮสต์, B: 3 โฮสต์, C: 5 โฮสต์, D: 19 โฮสต์, E: 21 โฮสต์ ซับเน็ตถูกจัดสรรจาก .0 ขึ้นไป โดย LAN ที่มีโฮสต์มากที่สุดมาก่อน แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่พอดี ออกเท็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายของ LAN B คือเท่าใด

A: 10B: 3C: 5D: 19E: 21
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 191

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

65 = 0100 0001
ที่กลับบิตแล้ว: 1011 1110
+1 → 1011 1111

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1011 1111₂ = 256 − 65 = 191

คำตอบ

U = 191
2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 36

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

การเลื่อนซ้าย 2 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางซ้าย 2 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายซ้ายหายไปและศูนย์เข้ามาทางขวา

1100 1001 << 2
= 0010 0100

ค่าของผลลัพธ์

0010 0100₂ = 36

คำตอบ

R = 36
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ขัดแย้ง (contradiction)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 0, ¬q = 0, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬p = 0, ¬q = 1, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 1, ¬q = 0, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬p = 1, ¬q = 1, ¬p ∧ ¬q = 1, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0

จัดประเภท

(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q): 0, 0, 0, 0
เป็น 0 ทุกแถว: contradiction

คำตอบ

ขัดแย้ง (contradiction)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: a = 1, b = 0, c = 1

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0
a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

ตัวอย่างค้าน

a = 1, b = 0, c = 1

คำตอบ

a = 1, b = 0, c = 1

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 6

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B′C + A′B + AB′ + ABC′

แถวที่ F = 1

ABC = 001, 010, 011, 100, 101, 110
N = 6

คำตอบ

N = 6
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: ขอบสัญญาณนาฬิกา 3

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป JK: 00 คงค่า, 01 รีเซ็ต (Q = 0), 10 เซต (Q = 1), 11 สลับค่า

1: J = 1, K = 1 → Q = 1
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 1 → Q = 0
4: J = 0, K = 1 → Q = 0
5: J = 0, K = 0 → Q = 0
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 1, K = 1 → Q = 1

การเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 ครั้งแรก

ขอบสัญญาณนาฬิกา 3

คำตอบ

ขอบสัญญาณนาฬิกา 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 9

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 12

r = 19, t = 0
r = 12, q = 1, t = 1
r = 7, q = 1, t = −1
r = 5, q = 1, t = 2
r = 2, q = 2, t = −3
r = 1, q = 2, t = 8
12−1 ≡ 8 (mod 19)

แก้สมการ

x ≡ 8·13 = 104 ≡ 9 (mod 19)
ตรวจสอบ: 12·9 = 108 ≡ 13 (mod 19)

คำตอบ

x = 9
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 3

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(36, 48) = 12
3x ≡ 1 (mod 4)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

3−1 ≡ 3 (mod 4) → x ≡ 3 (mod 4)

คำตอบมอดูโล 48

x ∈ {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47}
x = 3

คำตอบ

x = 3
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมของ Prim ที่ใช้คิวลำดับความสำคัญของเส้นเชื่อมที่ข้ามขอบเขตทำงานใน O(E log V) เมื่อใช้ฮีปไบนารี

คำตอบ

D · ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดที่ออกจากต้นไม้
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเป็นสมาชิกของ NP แสดงว่า X ไม่ยากกว่า NP ส่วนการลดรูปจากปัญหา NP-complete ที่ทราบแสดงว่า X ยากอย่างน้อยเท่าทั้ง NP

คำตอบ

C · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

B · 2i + 1 และ 2i + 2
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · อาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าบิตใดของรายการเป็น 0 รายการนั้นไม่อยู่แน่นอน ถ้าทั้งหมดเป็น 1 น่าจะอยู่ Bloom filter แลกความแม่นยำกับหน่วยความจำที่น้อยมาก

คำตอบ

A · อาจมีผลบวกเท็จ แต่ไม่มีผลลบเท็จ
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 11

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

คำตอบ

L = 11

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 4, C: 14
2. B (4): D: 9
3. D (9): E: 24, F: 24, G: 18
4. C (14)
5. G (18): E: 20
6. E (20)
7. F (24)

รอบ 6

E

คำตอบ

E
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · แถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

CASCADE ส่งต่อการลบไปยังแถวที่อ้างอิง ตัวเลือกอื่นคือ RESTRICT/NO ACTION (ปฏิเสธ) และ SET NULL

คำตอบ

D · แถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · ไม่มีแถวเลย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบกับ NULL เป็น UNKNOWN เงื่อนไขทั้งหมดจึงไม่เคยเป็น TRUE การใช้ NOT EXISTS หรือกรอง NULL ออกหลีกเลี่ยงกับดักนี้ได้

คำตอบ

A · ไม่มีแถวเลย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: A · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแฮนด์เชกสร้างการเชื่อมต่อและตกลงหมายเลขลำดับเริ่มต้นของทั้งสองฝ่ายก่อนส่งข้อมูล

คำตอบ

A · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: D · การแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สถานีส่ง Request to Send, AP ตอบด้วย Clear to Send ซึ่งทุกสถานีในระยะได้ยิน สถานีที่ซ่อนอยู่จึงเลื่อนการส่งตามเวลาที่จองไว้

คำตอบ

D · การแลกเปลี่ยน RTS/CTS แบบเลือกใช้ โดย CTS ของ AP บอกให้ทุกสถานีใกล้เคียงรอ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

บิตที่ยืมมา

30 − 24 = 6

จำนวนซับเน็ต

N = 26 = 64

คำตอบ

N = 64

แต่ละซับเน็ต /30 มีโฮสต์ที่ใช้ได้ 22 − 2 = 2 โฮสต์

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 88

VLSM: แต่ละ LAN ได้ซับเน็ตที่เล็กที่สุดที่ 2ʰ − 2 ≥ จำนวนโฮสต์ของมัน คือพรีฟิกซ์ 32 − h การจัดสรรซับเน็ตที่ใหญ่ที่สุดก่อนทำให้ทุกบล็อกอยู่ในแนวพหุคูณของขนาดตัวเอง ที่อยู่เครือข่ายจึงได้จากการบวกขนาดบล็อก

ขนาดบล็อกของแต่ละ LAN

E: 21 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
D: 19 โฮสต์ → 25 = 32 (/27)
A: 10 โฮสต์ → 24 = 16 (/28)
C: 5 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)
B: 3 โฮสต์ → 23 = 8 (/29)

การจัดสรร จากใหญ่ที่สุดก่อน

E: .0 – .31
D: .32 – .63
A: .64 – .79
C: .80 – .87
B: .88 – .95

คำตอบ

x = 88

LAN B: 192.168.54.88/29

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals