พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

เขียน −101 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −1018 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1011 0110 OR 0010 1101 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

1011 0110OR0010 1101

R =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

คุณต้องการพิสูจน์ ¬q → (p ∨ r) ด้วยข้อขัดแย้ง ควรสมมติประโยคใดตอนเริ่มต้น ให้คลิกประโยคนั้น

¬q → (p ∨ r)

1¬¬q ∧ (p ∨ r)
2¬¬q → ¬(p ∨ r)
3¬q ∧ ¬(p ∨ r)
4¬¬q ∧ ¬(p ∨ r)

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ (¬r ∨ (¬s ∧ p)) ∧ ((q ∧ p) ∨ (r ↔ ¬q)) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(¬r ∨ (¬s ∧ p)) ∧ ((q ∧ p) ∨ (r ↔ ¬q))

N =

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลคูณของผลบวก (POS) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 15) มีกี่พจน์ผลบวก (ตัวประกอบ) N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 15)

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ฟลิปฟล็อป D ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดงที่ขอบขาขึ้นของนาฬิกา 7 ขอบ Q เปลี่ยนสถานะกี่ครั้ง N

Q₀ = 0D

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงแก้ 33x ≡ 25 (mod 59) ให้คำตอบ x ที่ 0 < x < 59

33x ≡ 25 (mod 59)

x =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

44x ≡ 54 (mod 90) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 89}

44x ≡ 54 (mod 90)

N =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for j = 1 to i: ทำงาน O(1) คือเท่าใด

AO(n log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n³)

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส NP ถูกต้อง

Aปัญหาที่ไม่ใช่พหุนาม
Bปัญหาที่ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้
Cปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
Dปัญหาที่แก้ในเวลาพหุนามไม่ได้

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

Alog₂ n
B1
Cn (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
D√n

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

ต้นไม้แดง–ดำ (red-black tree) ต้องมีคุณสมบัติใด

Aทุกโหนดต้องเป็นสีแดง
Bรากต้องเป็นสีแดง
Cทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
Dโหนดสีแดงทุกโหนดต้องมีลูกสีแดง โหนดสีแดงจึงต่อเป็นสายไม่ขาดตอนไปจนถึงใบ

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K₅ มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K₅

H =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F

d(F) =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ตัว "A" ใน ACID ย่อมาจากอะไร?

AAccuracy
BAggregation
CAtomicity
DAvailability

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง employee(emp_id, dept_id, dept_name) มีคีย์ emp_id และ dept_id → dept_name ข้อใดถูกต้อง?

Aไม่อยู่ใน 2NF
Bอยู่ใน BCNF จึงอยู่ใน 3NF ด้วย
Cอยู่ใน 2NF แต่ไม่อยู่ใน 3NF
Dไม่อยู่ใน 1NF

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ช่วงหมายเลขพอร์ต TCP/UDP ใดสงวนไว้เป็นพอร์ต "ที่รู้จักกันดี" (well-known)?

A49152–65535
B0–65535
C0–1023
D1024–49151

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

โฮสต์ใน VLAN 10 และ VLAN 20 บนสวิตช์เดียวกันสื่อสารกันไม่ได้ ต้องมีอะไร?

Aฮับที่เชื่อมกับทั้งสอง VLAN
Bเราเตอร์หรือสวิตช์ชั้น 3 เพื่อกำหนดเส้นทางระหว่าง VLAN
Cสายเคเบิลที่ยาวขึ้นระหว่างโฮสต์
Dที่อยู่ MAC เดียวกันบนโฮสต์ทั้งสอง

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 192.168.255.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /26 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของเน็ตเวิร์กแอดเดรสของซับเน็ต 4 คือเท่าใด

192.168.255.0/24/26ซับเน็ต 4 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)

x =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.193.179/18 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด

172.20.193.179/18

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 155

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

101 = 0110 0101

ที่กลับบิตแล้ว: 1001 1010

+1 → 1001 1011

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1001 1011₂ = 256 − 101 = 155

คำตอบ

U = 155

2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 191

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

OR ให้ 1 เมื่ออย่างน้อยหนึ่งบิตเป็น 1

1011 0110

OR 0010 1101

= 1011 1111

ค่าของผลลัพธ์

1011 1111₂ = 191

คำตอบ

R = 191

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬q ∧ ¬(p ∨ r)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = ¬q, b = p ∨ r

นิเสธของนัย

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬q ∧ ¬(p ∨ r)

คำตอบ

¬q ∧ ¬(p ∨ r)

ถ้าข้อสมมติทำให้เกิดข้อขัดแย้ง นัยนั้นต้องเป็นจริง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 6

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬r; ¬s; ¬s ∧ p; ¬r ∨ (¬s ∧ p); q ∧ p; ¬q; r ↔ ¬q; (q ∧ p) ∨ (r ↔ ¬q); (¬r ∨ (¬s ∧ p)) ∧ ((q ∧ p) ∨ (r ↔ ¬q))

แยกตาม p

p = 1: 4

p = 0: 2

N = 4 + 2 = 6

คำตอบ

N = 6

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

จัดกลุ่ม 0

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

(A + C′ + D′)

(A′ + C′ + D)

(A′ + B + D)

(A′ + B′ + C + D′)

รูป POS ที่น้อยที่สุด

F = (A + C′ + D′)(A′ + C′ + D)(A′ + B + D)(A′ + B′ + C + D′)

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 6

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป D คัดลอก D ทุกขอบขาขึ้น: Q⁺ = D

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

นับการเปลี่ยน

0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 6

คำตอบ

N = 6

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 24

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวผกผันของ 33

r = 59, t = 0

r = 33, q = 1, t = 1

r = 26, q = 1, t = −1

r = 7, q = 3, t = 2

r = 5, q = 1, t = −7

r = 2, q = 2, t = 9

r = 1, q = 2, t = −25

33⁻¹ ≡ 34 (mod 59)

แก้สมการ

x ≡ 34·25 = 850 ≡ 24 (mod 59)

ตรวจสอบ: 33·24 = 792 ≡ 25 (mod 59)

คำตอบ

x = 24

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 2

หารด้วย gcd

gcd(44, 90) = 2

22x ≡ 27 (mod 45)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

22⁻¹ ≡ 43 (mod 45) → x ≡ 36 (mod 45)

คำตอบมอดูโล 90

x ∈ {36, 81}

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 32

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 12, C: 12

B (12): D: 19, G: 16

C (12): E: 24

G (16): E: 22

D (19): F: 32

E (22)

F (32)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F

ขนาดบล็อก

2⁶ = 64

ซับเน็ตหมายเลข 4

เครือข่าย: (4 − 1)·64 = 192

บรอดคาสต์: 192 + 64 − 1 = 255

คำตอบ

x = 192

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 255

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2⁶ = 64

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.192.0

บรอดคาสต์: 172.20.255.255

คำตอบ

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals